Référence : Tout-en-un MPSI

Formule de Stirling

Développement :
Formule de Stirling
Remarque :
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Référence :
- Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
Fichier :
- Formule de Stirling.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Leçon :
Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
Remarque :
Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.

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Références :
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- Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications..pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
Cette leçon est très vaste et il faut faire des choix, c'est donc l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise ! Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat et il est donc difficile de se démarquer dessus et les candidats sont censés bien maîtriser le sujet... Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant très longues) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (le théorème de Dirichlet faible).
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.

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Références :
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- Leçon 121 - Nombres premiers. Applications..pdf

127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Leçon :
Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
Remarque :
Cette leçon est nouvelle donc on ne connaît pas encore exactement les attentes du jury mais les anneaux de la forme Z[w] et les nombres algébriques semblent indispensables. Parler du corps des nombres constructibles peut être un bon investissement car ce n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs autres leçons.

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- Leçon 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications..pdf

144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...

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- Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications..pdf

148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon est vaste et il y a beaucoup de choses à dire ! Il est notamment possible de parler de théorie des corps avec le théorème de la base télescopique puisque ces notions exploitent entièrement les idée d'espace vectoriel de dimension finie.
Je pense aussi que c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attends un niveau assez élevé dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démonstrations (au moins les idées).

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- Leçon 148 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications..pdf

149 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon est assez vaste et le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) fait assez l'affaire car donne toutes les définitions et propriétés de base ! Bien qu'il s'agisse d'une leçon d'algèbre il peut être bien de parler des applications du déterminant en analyse.

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- Leçon 149 - Déterminant. Exemples et applications..pdf

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Leçon :
Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.

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- Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications..pdf

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Leçon :
Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
Remarque :
Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

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- Leçon 161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens, distances, isométries..pdf

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Si l'on utilise pas le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) il est difficile de trouver une référence qui en parle de manière complète... Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené et du pivot de Gauss et surtout illustrer par des exemples et applications diverses.

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- Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques..pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".

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- Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement..pdf

191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Leçon :
Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
Remarque :
Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

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- Leçon 191 - Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie..pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Remarque :
Attention cette leçon traîte de l'utilisation de la compacité et non de la compacité en elle-même ! Il faut donc donner le plus d'exemples et d'applications possibles et varier au maximum les domaines d'application.

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- Leçon 203 - Utilisation de la notion de compacité..pdf

209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

Leçon :
Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
Remarque :
Il faut essayer de motivier l'approximation d'une fonction par des fonctions régulières et donner le plus d'exemples possibles (approximation par des polynômes, dans les L^p ou encore de fonctions périodiques).

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- Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications..pdf

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

Leçon :
Formules de Taylor. Exemples et applications.
Remarque :
Dans cette leçon il faut essayer d'illustrer au maximum chaque formule de Taylor dans divers domaines (analyse, probabilités, analyse numérique, etc.).

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- Leçon 218 - Formules de Taylor. Exemples et applications..pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

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- Leçon 219 - Extremums existence caractérisation recherche. Exemples et applications..pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon paraît facile mais en réalité elle est assez piègeuse ! En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... De plus, les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles et assez peu abordées en CPGE et à la fac (il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet et faire des exercices pour bien comprendre ces deux notions).

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Références :
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- Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications..pdf

224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Leçon :
Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Remarque :
Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, la difficulté provennant du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas beaucoup exemples... De plus, la notion de développement asymptotique n'est plus au programme de CPGE et assez peu étudié à la fac donc il faut tout découvrir sur le sujet dans un laps de temps assez court...

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Références :
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- Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions..pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
Remarque :
Il faut essayer d'illustrer un maximum avec des exemples concrets et des études de suites particulières.

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Références :
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- Leçon 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n)..pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Remarque :
La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)...
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations.

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Références :
Fichier :
- Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications..pdf

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon :
Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon repose sur des notions de première année, donc on peut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue, etc.).

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Références :
Fichier :
- Leçon 228 - Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications..pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
Remarque :
Il faut mettre des manières classiques de calculer les intégrales (intégration par partie, changement de variable) ainsi que les théorèmes de convergence en pensant à bien les illustrer par des exemples. On peut donner d'autres manières de calculer des intégrales comme par exemple avec les probabilités ou l'analyse complexe.
Donner des calculs approchés d'intégrales paraît indispensable également et il faut faire des exercices afin de retenir des "méthodes classiques".

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Références :
Fichier :
- Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables..pdf

244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Il faut faire attention lorsque l'on parle des fonctions trigonométriques de bien donner un sens logique en sachant comment démontrer les choses (par exemple si on commence la leçon avec les formules trigonométriques du cosinus et du sinus et que l'on dit ensuite que ces fonctions sont dérivables alors il faut faire la démonstration avec ces formules trigonométriques et il ne faut surtout pas dire que c'est une série entière) : c'est cela qui rend la leçon difficile à faire...

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Références :
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- Leçon 244 - Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales..pdf

Tout-en-un MPSI

Utilisée dans les 1 développements suivants :

Utilisée dans les 22 leçons suivantes :

Utilisée dans les 1 versions de développements suivants :

Formule de Stirling

Utilisée dans les 22 versions de leçons suivantes :

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

149 : Déterminant. Exemples et applications.

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.