Lemme de Schwarz et biholomorphismes du disque

Un développement assez simple et original d'analyse complexe utilisant le principe du maximum. Cela permet de sortir des développements les plus "classiques" (prolongements analytiques, calculs d'intégrales). Malheureusement, il se recase assez mal...

Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))

Preuve par Dunford et les matrices unipotentes.
Plus algébrique et moins hardu que l'autre version passant par le théorème d'inversion locale.
Les polynômes d'endomorphismes sont omniprésents dans ce dév, ce qui justifie le recasage dans ladite leçon. L'utilisation d'arguments de diagonalisabilité et de Dunford peut justifier le recasage dans la leçon sur les endo diagonalisables...

Automorphismes de Sn

Je m'inspire de Perrin pour montrer qu'un auto qui préserve les transpositions est intérieur.
Par contre, pour la deuxième partie de la preuve, je n'aime pas du tout la version de Perrin qui est inutilement compliquée et très peu détaillée.
La version de FGN me paraît bien plus simple, attention par contre à reduire certains détails pour tout faire tenir en 15min.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Étant une leçon d'exemples, j'ai essayé d'y mettre au maximum des exemples qui se réutilisent dans d'autres leçons, d'où la partie sur les corps de nombres qui se recase dans les leçons sur les corps et la partie sur les nombres constructibles qui se recase dans les leçons de géométrie.

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Plan inspiré en partie de Tintin et Théo Ternier : merci à eux !
3 développements sont proposés car il s'agit d'un travail de préparation à trois et que nous n'avons pas tous choisi les mêmes développements.
Quelques remarques du professeur ayant encadré notre leçon :
- il faut être au point sur l'enchainement des définitions quant à l'exponentielle complexe et savoir de quelle manière on veut procéder pour démontrer les théorèmes 9 et 13.
- on aurait pu définir directement les polynômes de Tchebychev dans l'application 18.
- une application serait bienvenue dans la partie sur les angles orientés, par exemple : trois complexes distincts a,b,c définissent un triangle équilatéral direct ssi a + bj + cj^2 = 0.

Utilisation de la notion de compacité.

Plan présenté en leçon avec Cédric Villani ! (Qui l'a trouvé globalement bien)
Je suis volontairement resté sur les bases car il faut maitriser ce qu'on met dans son plan ! Néanmoins, vu ce que dit le rapport de jury, je pense que c'est largement suffisant pour s'assurer une (très) bonne note.

Plan en grande partie inspiré de Mr_Syndrome : merci à lui !

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

Leçon présentée en 2024 sous la conduite de François Lê (que j'en profite pour remercier au passage pour ses précieux conseils).
Je détestais l'analyse complexe avant d'avoir été contraint à préparer cette leçon, depuis je suis un énorme fan !
Niveau références, je trouve que le Tauvel reste ce qu'il y a de mieux pour quelqu'un qui veut rester sur les bases.

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Leçon préparée à 3 en 2024 sous la conduite d'Elise Fouassier qui nous a donné de précieux conseils, en particulier sur le fait que le plan doit être construit autour d'exemples variés et détaillés, sans forcément vouloir en mettre trop.
Il y a un minimum de théorie à faire au début (global vs maximal, cauchy-lipschitz, sortie de tout compact) puis ensuite il faut prendre des exemples variés (avec ou sans résolution explicite, 1er ou 2e ordre, scalaire ou vectoriel, etc)
La référence incontournable pour cette leçon est le Berthelin, sa lecture ne peut vous faire que du bien ! Et pourtant, c'est un hater des équadiff qui vous le dit !
Rq : si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais développé l'équation de Bernoulli en 2e dév (c'est entièrement fait dans le Berthelin) plutôt que le modèle SIR.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Plan préparé à 3 en 2024 sous la conduite de François Lê que je remercie pour ses précieux conseils !
Si jétais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé le 3.3 et le dév sur la forme normale de Smith pour le remplacer par une sous-partie sur les polynômes irréductibles et le contenu d'un polynôme avec Eisenstein en dév.
Les références sont à la fin du fichier.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Plan présenté en leçon en prépa agreg.
Je ne suis pas très satisfait de ma dernière sous-partie, on pourrait essayer de trouver quelques exemples/applications de l'action par conjugaison du groupe linéaire.