Leçon 245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

(2025) 245

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.) Les fondements de la théorie des fonctions holomorphes d'une variable complexe contenues dans le programme fournissent un ample matériel pour nourrir cette leçon : représentation intégrale ou sous forme de série entière, principe des zéros isolés et ses conséquences, principe du maximum. L'un des deux développements proposés peut être consacré à la preuve d'un de ces résultats fondamentaux. Les candidates et candidats doivent être capables de donner la définition d'une fonction méromorphe, et d'en présenter les applications du programme : développements en série de Laurent et formule des résidus, illustrés par des exemples significatifs. Les candidates et candidats solides peuvent aborder par exemple les théorèmes de Rouché ou de Hurwitz, l'étude des zéros des fonctions holomorphes, la représentation sous forme de produit infini, le problème de la représentation conforme, le théorème de Paley-Wiener, les espaces de Hardy sur le disque unité, le problème du prolongement analytique, l'équation fonctionnelle de la fonction ζ et ses conséquences, les algèbres de Banach, etc. 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications. Les théorèmes de convergence des séries de Fourier ont une place centrale dans cette leçon ; on prendra garde à différencier les hypothèses et à maîtriser les différents types de convergence (simple, uniforme, au sens de Cesáro, $L^p$. . .) apparaissant dans les énoncés proposés. Les propriétés importantes des noyaux utilisés pour les preuves de ces résultats doivent être clairement explicitées. La théorie L2 permet un point de vue géométrique agréable de la théorie. Dans ce cadre, on aura en tête l'interprétation de l'identité de Parseval en terme d'isométrie. Les propriétés des coefficients de Fourier sont un incontournable de la leçon, mais ne devront pas prendre une place prépondérante. Les candidates et candidats pourront aborder le lien entre régularité de la fonction et vitesse de convergence vers 0 de ses coefficients de Fourier, via le théorème de Riemann- Lebesgue et le lien entre dérivation et coefficients. Il est important d'illustrer cette leçon de quelques unes des innombrables applications des séries de Fourier, par exemple : calculs de sommes de séries, résolutions d'équations différentielles ou aux dérivées partielles (équation de la chaleur, problème de Dirichlet sur le disque unité, etc.), inégalité de Bernstein, formule sommatoire de Poisson et ses applications, inégalité de Wirtinger, etc. Les candidates et candidats solides peuvent s'intéresser à la divergence des séries de Fourier dans divers contextes (soit en exhibant des contre-exemples, soit en utilisant la théorie de Baire), mais aussi aux procédés de sommation presque partout des séries de Fourier, aux séries de Fourier lacunaires, à l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, au critère de Weyl, à l'inégalité isopérimétrique, à la convergence de la série de Fourier d'une fonction $\alpha$-höldérienne pour $\alpha=$ 1,2 , etc.

(2022 : 245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.) L'intitulé de cette leçon permet de l'aborder sous l'angle moins intimidant des séries entières, pour lesquelles on renvoie à la leçon 243. Au niveau de l'agrégation toutefois, on est en droit d'attendre des candidats une compréhension des résultats les plus fondamentaux de la théorie des fonctions holomorphes, ainsi qu'une autonomie raisonnable dans leur mise en oeuvre. Ce thème devra donc être abordé, et il peut l'être à différents niveaux, les candidats les plus aguerris pouvant aborder par exemple les théorèmes de Rouché ou de Hurwitz, le problème de la représentation conforme, l'équation fonctionnelle de la fonction ζ et ses conséquences, le théorème de Paley-Wiener, etc.
(2019 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.) Cet intitulé ne sera pas utilisé pour la session 2020 où il sera remplacé par $\\$ Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif d’offrir des points d’entrée plus variés à cette leçon. Ainsi, il est possible, dans un premier temps et si le candidat le souhaite, de parler de polynômes de la variable complexe, de fractions rationnelles, de séries entières, sans immédiatement exposer la théorie des fonctions holomorphes. Le jury attend des exemples illustrant ces notions et montrant la maîtrise des candidats sur ces points. $\\$ Concernant les questions d’holomorphie, outre la définition, la signification géométrique des équations de Cauchy-Riemann, la formule de Cauchy et les résultats concernant l’analyticité, le principe des zéros isolés, ou encore le principe du maximum, sont des attendus de cette leçon. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notationş $\int_{\gamma} f(z)dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta,...).Même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) peut être présentée à condition que cette notion soit maîtrisée et accompagnée d’exemples. Le jury attire l’attention sur le fait que le prolongement de la fonction Gamma en fonction méromorphe est très souvent proposé mais insuffisamment maîtrisé. Proposer un développement moins ambitieux mais maîtrisé est une stratégie plus payante, qui ouvre la discussion avec le jury de manière plus positive. $\\$ Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre des possibilités d’ouverture en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau qui ne doit pas être abordé sans une bonne maîtrise des questions en jeu.
(2017 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta, ...). Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
(2016 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications. ) Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
(2015 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
(2014 : 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.) Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpréş tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) !

Développements :

Plans/remarques :

2026 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon présentée en 2024 sous la conduite de François Lê (que j'en profite pour remercier au passage pour ses précieux conseils).
    Je détestais l'analyse complexe avant d'avoir été contraint à préparer cette leçon, depuis je suis un énorme fan !
    Niveau références, je trouve que le Tauvel reste ce qu'il y a de mieux pour quelqu'un qui veut rester sur les bases.
  • Fichier :

2025 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Séries entières
    1) Déf
    2) Pptes, zéros isolés
    3) Analycité
    II. Dérivation complexe : holomorphie
    1) Déf
    2) Ppte, lien analycité
    3) Méromorphie
    III. Intégration
    1) Intégrale à paramètre (DVT : polynome ortho)
    2) Formule de Cauchy, intégration sur un contour (DVT : Transfo Gaussienne)
    3) Thm des résidus
  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    L'essentiel c'est de veiller à mettre les choses dans un ordre mathématiquement cohérent, après ya plein de directions possibles pour cette leçon !
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Une de mes leçons préférée. Dommage qu'il n'y ait pas plus de place pour parler de plus de choses. Mais je pense que j'ai mit exactement tout ce dont il y'avait besoin.
  • Fichier :

2024 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je trouve la théorie très belle et très intéressante, mais l'analyse complexe n'est un pas un domaine que je maîtrise suffisamment pour passer dessus à l'oral.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
    J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...

    /!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
    Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.

    La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
    C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 245 - Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.


2020 : Leçon 245 - Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.


2017 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.


2016 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2026 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Montel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement : ils ont voulu revenir sur mes applications de l'IAF et des estimées de Cauchy, alors j'ai redit à peu près la même chose que dans mon développement et ça a été (+ un ou deux modules que j'avais oubliés). Un membre du jury a voulu s'attarder sur l'IAF : quel est le lien entre la forme que j'utilise avec la dérivée $f'$ et la forme avec la norme d'opérateur de $df$ ? Réponse : la jacobienne est une similitude, et on peut calculer. Avant que je puisse le faire, question de ce membre du jury pour conclure la discussion : quel nombre complexe représente cette matrice jacobienne ? La réponse est en effet $f'(z)$, et il n'a pas voulu d'argument plus précis (retenez cette information, elle sera utile plus tard).



    Questions sur le plan : Je me souviens de trois mais il y en a peut-être eu d'autres.

    1) D'abord, "pouvez-vous démontrer que $\Gamma$ est holomorphe ?" Je dis qu'on va utiliser le théorème d'holomorphie sous l'intégrale, j'écris la domination sur un compact, tout se passe bien. La membre du jury a insisté à la fin du calcul pour savoir quel théorème j'utilise.

    2) Puis des questions sur la métrique sur $H(\Omega)$, comment je la définis précisément. J'ai renvoyé le jury à mon plan puis ai expliqué la construction à partir de la famille de semi-normes. Puis on a parlé plus généralement de sous quelles conditions on peut définir une métrique avec une famille de semi-normes, et pourquoi ici on peut (il voulait les mots dénombrable et séparante).

    3) Enfin une question plus ouverte, quelque chose comme "vous avez insisté sur la différence entre les fonctions analytiques complexes et les fonctions réelles dérivables. Quelles différences y a-t-il entre les fonctions analytiques complexes et réelles, est-ce qu'il y a des énoncés vrais pour les complexes et pas pour les réelles ?" Alors là je n'ai pas du tout su quoi répondre, pour moi c'était la même notion. Mais en fait non ! Pour me guider dans cette question, il me demande un exemple de fonction analytique sur R mais pour laquelle "il faut changer le rayon suivant le point". Alors je réfléchis un petit moment puis je trouve $\frac{1}{1+x^2}$. Il me demande d'expliquer ce qui se passe : en effet cette fonction a des singularités dans $\mathbb C$, donc le théorème de Cauchy ne donne pas un DSE de rayon arbitraire. Alors que dans $\mathbb C$ c'est le cas, parce qu'il n'y a pas de singularité "cachée", qu'on n'arrive pas à voir. Je crois que ça l'a satisfait.



    Exercices :
    1) Soit $\Omega$ un ouvert connexe, trouver toutes les $f\in H(\Omega)$ telles que $f(\Omega)\subset\Omega$ et $f\circ f=f$. Je commence par dériver la relation et utiliser l'intégrité de $H(\Omega)$ pour voir que soit $f$ est constante, soit $f'\circ f=1$. Je dis que cette dernière relation devrait forcer que soit $f$ est constante, soit $f'=1$ mais qu'il faut s'en assurer. Si $f$ n'est pas constante, on voudrait donc s'assurer que l'image de $f$ a un point d'accumulation dans $\Omega$. J'avance timidement l'argument d'inversion locale holomorphe, puis me rends compte que l'inversion locale classique suffit (heureusement ils ne sont pas allés me chercher sur la version holomorphe). Mais la membre du jury n'a pas l'air convaincue, et me demande de revenir à la relation du début. J'écris quelques trucs mais je ne trouve pas, alors je reparle d'inversion locale avec un aplomb plus fort, et cette fois elle dit "D'accord".

    2) Trouver les $f$ holomorphes sur $\Omega$ connexe telles que $f(z)=f(\overline z)$ pour tout $z\in\Omega$ (l'exo est donné par le membre du jury pas très précis de tout à l'heure, il n'a pas pris la peine de supposer que $\Omega$ est stable par conjugaison). J'ai commencé par vouloir exprimer la dérivée en un nombre réel mais le calcul n'aboutit pas (remarque du membre du jury : on ne suppose pas que $\Omega$ intersecte $\mathbb R$, je réponds que c'est garanti si $\Omega$ est stable par conjugaison et connexe par passage aux douanes, il est d'accord). Ensuite j'ai pas trop compris ce qu'on a fait, il m'a fait écrire la série entière (en supposant $\Omega=\mathbb C$) avant de m'affirmer que si une fonction fait intervenir $\overline z$ alors elle n'est pas holomorphe, je l'ai cru et on est revenus au cas général. Et là j'ai fini par trouver l'idée qui est Cauchy-Riemann (apparemment s'intéresser au cas précédent devait me donner l'intuition mais je vois pas le rapport). Je commence à faire le calcul, et le membre du jury me dit que ce n'est pas la peine, on voit bien que ça va donner une absurdité. Je l'ai cru.

    3) Enfin j'ai dû montrer le principe du maximum, on en avait parlé plus tôt mais je ne sais plus quand ou pourquoi. NB : il n'est pas dans mon plan. J'ai tenté avec la formule de Cauchy pour majorer une valeur par le sup sur le cercle, mais il n'a pas voulu que j'utilise la représentation intégrale, juste la série entière. Alors j'ai fait des trucs un peu au hasard et ça avait l'air de le satisfaire, j'ai pu arriver au bout de la preuve (plus ou moins). En gros on considère le premier coefficient non-nul et on prend un $z$ selon l'argument du coefficient pour baisser la valeur de $f(z)$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sympathique, rit à mes tentatives de briser la glace. Un membre n'a pas du tout parlé, une autre a posé une question et un exo et me laissait réfléchir sans presque prendre la parole (juste quelques indications sporadiquement), et le dernier a beaucoup parlé, il se contentait d'idées de preuves et n'aimait pas trop rentrer dans les détails des calculs. Aussi il prenait le temps de m'expliquer des choses c'était assez cool.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La préparation s'est passé relativement sans problème, à part une grosse panique quand je me suis rendu compte qu'aucun de mes livres (j'ai même consulté le Rudin et le Saint-Raimond) n'énonce proprement le théorème d'holomorphie sous l'intégrale alors j'ai dû improviser l'énoncé. J'ai pu faire 59 items avec tout juste assez de place pour mon dernier développement.

    Pas de surprise pendant la défense et le développement, le jury a l'air d'écouter et prévient une minute avant la fin du développement (à la fin il m'a demandé de conclure en une phrase).

  • Note obtenue :

    18


2024 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Transformée de Fourier d'une gaussienne

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je n'avais pas tout à fait terminé mon développement (enfin, il restait un point à éclaircir, plus précisément), et un membre du jury m'a aidé. Ensuite, ils m'ont demandé pourquoi l'intégrande (de la transformée de Fourier de la gaussienne) était bien intégrable. Enfin, quelques questions sur mon plan, puis deux exercices (le premier était de calculer le maximum de $z \mapsto z(z-1)$ sur le disque unité, et le second était de déterminer les fonctions holomorphes $f$ qui vérifient $f \circ f = f$).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était d'une extrême bienveillance et a su rester professionnel et encourageant à tout instant malgré la piètre qualité de mon oral. Les questions posées ont pour but d'évaluer notre niveau de maîtrise sur les éléments de notre plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Deuxième jour d'oral, je me dis "boarf, le tirage pourra pas être pire qu'hier !" : bingo, il est pire qu'hier. Je tombe sur deux thèmes où je suis mauvais et où je maîtrise moyennement mes développements. Comme hier, je me ressaisis, je choisis celui où mes développements sont les plus aboutis et les plus simples à mémoriser, puis je me lance dans la préparation. À la fin, gros coup de stress à l'idée de faire face à des personnes extrêmement qualifiées dans le domaine pendant que je vais devoir me débrouiller pour survivre pendant une heure.
    Pour ne rien arranger, le jury choisit le développement que je maîtrise le moins (relu rapidement la veille) parce que je pense qu'ils en avaient déjà marre des polynômes orthogonaux. Mon exposé est assez approximatif, mais j'en viens à bout en 15 min pile poil (je me suis juste trompé dans la paramétrisation d'une partie du contour, mais j'ai pu corriger après la fin grâce à leur aide). La suite de l'oral fut compliquée à gérer car j'avais un peu perdu confiance, mais je pense que les membres du jury s'en sont aperçu et ils ont posé des questions simples afin de me remettre en confiance et de voir si je maîtrisais tout de même les fondamentaux. J'en suis ressorti extrêmement déçu. Au niveau de la note, je m'attendais à un résultat inférieur (du style 2 ou 3), mais je m'en tire finalement avec une note qui m'a laissé dans la course.

    Au niveau du temps, on a encore eu exactement les trois heures de préparation et le petit temps pour relire le développement choisi par le jury.

  • Note obtenue :

    6


2022 : Leçon 245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Propriétés de l'anneau H(C)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le plan de cette leçon est assez long à écrire, j'ai mis 1h25 pour le réécrire entièrement. J'ai ensuite retravaillé mes développements pendant une quarantaine de minutes, puis j'ai pu retravailler les deux tiers de mon plan (sauf la dernière partie).

    Concernant les développements : j'ai proposé le prolongement de Gamma, et un autre développement d'algèbre (propriétés de l'anneau des fonctions entières : il est intègre, non noetherien, ses inversible sont les fonctions ne s'annulant jamais, et ce sont aussi les fonctions qui sont l'exponentielle d'une fonction entière, puis pour finir, les éléments irréductibles de cet anneau sont les fonctions ayant un unique zéro, qui est simple, puis l'anneau n'est pas factoriel). Ils ont choisi ce dernier développement, j'avais parlé d'une étape un peu rapidement, ils sont donc revenus dessus après, et j'ai su la réexpliquer sans soucis. J'ai eu une question sur l'idéal que j'introduisais pour montrer que l'anneau n'est pas noetherien, un des jury ne semblait pas convaincu mais après explication il l'était beaucoup plus.

    On m'a posé comme question : "Quel est le corps des fractions de cet anneau" ? J'ai répondu que c'était les fonctions méromorphes sur C. Le jury m'a demandé si je savais l'idée de la preuve (en me précisant que je n'étais pas censé la savoir), j'ai répondu que je savais simplement qu'il s'agissait du théorème de Mittag, mais que je ne savais pas vraiment comment on le montrait, il avait l'air satisfait quand même !

    On m'a demandé de prouver un exemple du plan que j'ai un peu peiné à retrouver (pas vraiment eu le temps de retenir les détails) mais sur la théorie je n'avais pas d'hésitation.

    Ensuite, on m'a demandé si j'avais une autre règle pour le calcul de series entières que Cauchy. J'ai dit oui, elle est dans mon plan : c'est D'Alembert. Puis on m'a dit : une autre. Je ne me souvenais plus du nom, et un jury m'a dit que c'était Hadamard, je l'ai donc énoncée et il était satisfait. On m'a demandé sur quel type d' ensemble mieux que connexe on avait une primitive, et, stressé par le fait de ne plus me rappeler du nom (simplement connexe) j'ai un peu bégayé.

    Par la suite, j'ai du avoir une question théorique sur le plan mais je ne me souviens plus laquelle. Puis on m'a demandé comment , sans les résidus, calculer l'integrale de 1+x^2 : évidemment par primitive directe.

    On m'a demandé où 1/cos z était holomorphe, puis écrire le DSE autour de zéro, faire un dessin, et discuter du rayon de convergence. J'ai eu le temps de dire que c'était au moins pi/2 , et on a juste entamé la preuve que c'était pi/2.

    Il restait moins d'une minute quand on m'a demandé ce qu'il en était de 1/z , et l'oral s'est terminé.

    J'oublie probablement quelques questions.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était composé de trois membres : deux hommes et une femme. Les deux premiers posaient les questions, et la femme n'a prononcé que quelques phrases pendant l'oral. Le second homme ne semblait pas très enjoué ni satisfait, la femme était neutre , tout comme le premier homme. Ils aidaient quand je ne savais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La préparation s'est bien déroulée, et l'oral aussi. Bonne organisation également.

  • Note obtenue :

    12


2019 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune questions sur le développement.

    Sur le plan/cours:

    1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
    Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
    - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
    J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
    - Avez-vous une idée de la preuve ?
    J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
    - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
    C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).

    Exercices :

    1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
    J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
    - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
    J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.

    2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
    Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
    - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
    Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.

    3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
    On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).

    4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
    Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.

    Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune questions sur le développement.

    Sur le plan/cours:

    1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
    Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
    - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
    J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
    - Avez-vous une idée de la preuve ?
    J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
    - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
    C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).

    Exercices :

    1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
    J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
    - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
    J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.

    2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
    Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
    - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
    Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.

    3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
    On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).

    4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
    Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.

    Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune questions sur le développement.

    Sur le plan/cours:

    1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
    Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
    - Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
    J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
    - Avez-vous une idée de la preuve ?
    J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
    - Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
    C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).

    Exercices :

    1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
    J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
    - Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
    J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.

    2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
    Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
    - Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
    Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.

    3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
    On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).

    4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
    Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.

    Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).

  • Note obtenue :

    10


2017 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    235 : Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Défense de plan ok, jury attentif, puis développement (uniformisation de Riemann).
    Quelques questions sur le développement (pourquoi existe-t-il une racine carrée holomorphe, pourquoi l'image d'un ouvert simplement connexe par une application continue est-elle simplement connexe, pourquoi là c'est ouvert etc.)
    Comment démontre-t-on le théorème de Montel ? (Ascoli car équilipschitz car on contrôle les dérivées grâce à la formule de Cauchy blabla)
    Puis séances de questions :

    Q : montrer que $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ on a $\pi cotan( \pi )z = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z-n}$
    R : alors bah déjà j'vais arranger le terme de droite pour bien dire que c'est convergent, puis après je vais isoler le terme d'ordre zéro... Ces deux fonctions sont méromorphes je vais montrer qu'elles ont les mêmes pôles...

    Q : oui mais elles ont quoi d'autre comme propriétés ?
    R : ah oui 1-périodique donc je regarde que le pole en zéro... je le fais. Quelques fois, mes méthodes de calculs ne lui plaisent pas trop (j'ai été partisan du plutôt faire plus que faire moins mais visiblement ils voulaient que j'aille moins loin dans les détails). Après faut borner quand la partie imaginaire explose je le fais... Puis Liouville, la différence est entière bornée .. et la limite en l'infini vers les imaginaires complexes donne le résultat

    Q : existe-t-il une fonction holomorphe au voisinage de zéro telle que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ f(1/n) = (-1)^n / n^3$ ?
    R : (là je sens bien que la réponse est non) bah euh j'vais voir... je suis parti dans la mauvaise direction je voulais regarder g(z) = f(1/z) mais elle m'a dit "non non regardez elle vaut quoi en zéro ? Ah oui : du coup f(z) = o(z) donc en fait f(z) = C z^2 + o(z^2) je mets 1/n donc C = 0... du coup après en allant à l'ordre supérieur on a que C' = (-1)^n pas possible ca doit etre constant et voilà

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympa, mais seuls deux d'entre eux ont discuté (la troisième personne ne devait pas être très branchée analyse complexe)
    Je crois que je leur ai coupé la parole à un moment mais ils ne m'en ont visiblement pas voulu

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui très bien. Aucune surprise sur ce point de vue là, j'avais bien bossé la leçon.

  • Note obtenue :

    19.75


2015 : Leçon 245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des lacunes d'Hadamard

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le développement, une ou deux sur le plan et surtout des exos.

    ils ont voulu que j'explique plus lentement le passage 'il existe epsilon tel que D_epsilon est inclus dans phi^-1(omega)' pour ceux qui connaissent le développement
    Vous avez dit que la différentielle étaitune similitude drecte, que vouliez vous dire ? Alors bon j'explique tout un tas de trucs, en fait il voulait seulement que je dise que ça conserve les angles.
    pourquoi une série entière de rayon de convergence fini a au moins un point singulier ?
    Alors par l'absurde, si tous les points sont réguliers t'as autour de chaque point du cercle de convergence un ouvert où ta fonction se prolonge en une fonction holomorphe, t'en extrait un sous recouvrement fini par compacité du cercle et ensuite gros dilemme parce que tu peux étendre ta série en une fonction holomorphe sur un disque plus grand mais est ce que ça veut dire que ta série entière a un rayon de convergence plus grand que prévu et bah ouais, suffit de regarder la formule de Cauchy sur un cercle plus grand où ta fonction est holomorphe et ... fin regarde la preuve de 'une fonction holomorphe est analytique c'est la même idée'
    Que sont les biholomorphismes du plan ? Les fonctions affines. On suppose le biholomorphisme nul en 0, on regarde l'inverse, on montre que 0 est un pôle de multiplicité 1 de l'inverse car la dérivée en 0 de f n'est pas nul, il faut pour le voir regarder la dérivée de la composée de la fonction avec sont inverse, bref on fait mumuse. on retire à l'inverse la partie en 1/z, c'est une fonction holomorphe, on montre qu'elle est bornée, on utilise le théorème de Liouville et du coup elle est constante et même nulle et on finit par montrer que le biholomorphisme est une fonction affine et fichtre quand t'as jamais vu ça de ta vie, t'es content d'en avoir fini.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plutôt bien passé je crois, une leçon pas évidente, j'ai répondu aux questions et leurs questions remuaient beaucoup de notions de mon plan et étaient loin d'être triviales. Ils étaient assez neutres, j'ai un peu dépassé le temps imparti à la défense de plan mais ils n'ont rien dit. J'avais quelques craintes sur mon plan, basé sur l'Amar Matheron qui démontre la formule de Cauchy en mode je suis un psychopathe, j'aime les 1-formes, mais ils ne m'en ont pas parlé, ils m'ont posé quelques questions sur d'autres points du plan, mais pas sur la partie trash.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 95 versions au total)
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari (utilisée dans 21 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 127 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 44 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 333 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 194 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 161 versions au total)
Analyse Complexe,, Mohammed El Amrani (utilisée dans 143 versions au total)
Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 24 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 254 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 77 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 106 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 37 versions au total)
Eléments d'analyse complexe, Jean-François Pabion (utilisée dans 1 versions au total)
Complex analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 9 versions au total)
Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions, Ahlfors (utilisée dans 1 versions au total)
Complex Proofs of Real Theorems, Lax, Zalcman (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse complexe, Dolbeault (utilisée dans 1 versions au total)