Développement : Propriétés de l'indice et application au calcul d'intégrale

Détails/Enoncé :

Soit $\gamma : I \rightarrow \mathbb{C}$ un chemin fermé de $\mathbb{C}$. Soit $a \in \mathbb{C} - \gamma (I)$. On définit l'indice du chemin $\gamma$ par rapport au point $a$ par $$\text{Ind}_{\gamma}(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz.$$
$\text{Ind}_{\gamma}$ est une fonction :
- à valeurs entières sur $\mathbb{C} - \gamma(I)$
- constante sur chaque composante connexe de $\mathbb{C} - \gamma(I)$
- nulle sur la composante connexe non bornée de $\mathbb{C} - \gamma (I)$
Ex de calcul d'intégrale par le théorème des résidus (qui utilise l'indice)

Réf : les livres d'analyse complexe (Amar Mathéron)

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