Développement : Transformée de Fourier d'une gaussienne

Détails/Enoncé :

Théorème:
Soit $a$ un réel, $a >0$. Alors, $\forall \xi \in \mathbb{R}$ :
\begin{equation*}
\mathcal{F}(e^{-ax^2})(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp({\frac{-\xi ^2}{4a}})
\end{equation*}

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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  • Remarque :
    Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
    Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis passé sur ce développement. S'il est bien connu, le calcul peut aller très vite. Il ne faut donc pas hésiter à détailler, expliquer son raisonnement, faire des dessins, etc. C'est de toute façon une démarche qui est valorisée selon le rapport du jury.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse, Mohammed El Amrani (utilisée dans 151 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 36 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 313 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 237 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 118 versions au total)