Développement : Transformée de Fourier d'une gaussienne

Détails/Enoncé :

Théorème:
Soit $a$ un réel, $a >0$. Alors, $\forall \xi \in \mathbb{R}$ :
\begin{equation*}
\mathcal{F}(e^{-ax^2})(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp({\frac{-\xi ^2}{4a}})
\end{equation*}

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  • Remarque :
    Je suis passé sur ce développement. S'il est bien connu, le calcul peut aller très vite. Il ne faut donc pas hésiter à détailler, expliquer son raisonnement, faire des dessins, etc. C'est de toute façon une démarche qui est valorisée selon le rapport du jury.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 66 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 30 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 251 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 178 versions au total)