Leçon 250 : Transformation de Fourier. Applications.

(2018) 250

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 250 - Transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect « séries de Fourier» n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais sur $R$ ou $R^d$. La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. Les candidats doivent savoir montrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction intégrable. La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ est attendue ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$, paraissent nécessaires. Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale. La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur sur R, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions. Dans un autre registre, il est aussi possible d’orienter la leçon vers l’étude de propriétés de fonctions caractéristiques de variables aléatoires.

(2016 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications. ) Cette leçon, fusionnée avec la 254, est remplacée par la 250 dont voici le rapport. Cette leçon, reformulée pour la session 2017, offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect “séries de Fourier” n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; précisons aussi qu’il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais bien sur $R$ ou $R^d$ . La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ . En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ sont attendues ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ , paraissent nécessaires. Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale. La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions.
(2015 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires. Les candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{ d^2}{dx^2}$. La transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouvent leur place ici mais sont réservées aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener.
(2014 : 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.) Cette leçon ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien régularité de la fonction et décroissance de sa transformé de Fourier doit être fait même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires. Les candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou plus délicats la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{d^2}{dx^2}$ . La transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouve sa place ici mais est réservé aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2017 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.


2016 : Leçon 240 - Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fourier-Plancherel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces.

    On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini.

    Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi.

    On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.