Développement : Formules de Poisson et Shannon

Détails/Enoncé :

Soit $f \in S(\mathbb{R})$. Alors

$ \forall t \in \mathbb{R}, \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n+t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(k) e^{i2kt}$

et si le support de $\hat{f}$ est inclus dans $[-1/2,1/2]$, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) \frac{ \sin(k-t) \pi}{(k-t) \pi}$

Recasages pour l'année 2026 :

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    Un développement que j'aurais choisi seulement parce que le nom de Poisson me fait rire, mais en plus il est sexy. D'abord il fait le lien entre séries de Fourier et transformation de Fourier, c'est-y pas chouette. Il traduit une interversion de symboles complètement inattendue, et mon petit doigt me dit que c'est le titre d'une leçon. Enfin, il propose un développement original, un peu exigeant mais très bien documenté, qui change des ultra-classiques sur Fourier, et moi mon cœur a été conquis. Le nombre d'applications est outrancier, ce qui permet de choisir selon le recasage, les goûts ou l'humeur. Dans le 131 dévs, on pourra même trouver une application pour démontrer le théorème de Minkowski sur les réseaux ! Manifayk
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 175 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 48 versions au total)