Développement : Formule sommatoire de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ telle qu'il existe $M > 0$ et $\alpha > 1$ vérifiant $|f(x)| \le \frac{M}{ (1+|x|)^\alpha}$ pour tout $x$. Si $\sum_{\mathbb{Z}} | \widehat{f}(m)| < +\infty$ alors
$$ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(m) = 2 \pi \sum_{m \in \mathbb{Z}} f(2\pi m )$$

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    On peut ajouter en application l'équation fonctionnelle de la fonction \theta de Jacobi.
  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention à la définition du grand $O$ dans le Gourdon : tenez vous prêt à répondre à la question, ou bien rédigez la autrement et adaptez le début de la preuve en conséquence.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 461 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 50 versions au total)
Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 8 versions au total)
Distributions, analyse de Fourier et transformation de Laplace, Lesfari (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 139 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 180 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 67 versions au total)