Développement : Formule sommatoire de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ telle qu'il existe $M > 0$ et $\alpha > 1$ vérifiant $|f(x)| \le \frac{M}{ (1+|x|)^\alpha}$ pour tout $x$. Si $\sum_{\mathbb{Z}} | \widehat{f}(m)| < +\infty$ alors
$$ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(m) = 2 \pi \sum_{m \in \mathbb{Z}} f(2\pi m )$$

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    On peut ajouter en application l'équation fonctionnelle de la fonction \theta de Jacobi.
  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention à la définition du grand $O$ dans le Gourdon : tenez vous prêt à répondre à la question, ou bien rédigez la autrement et adaptez le début de la preuve en conséquence.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Le dev est au recto, appli au verso
    Réf : Gourdon p.284 - 285
    Recasage : 230, 235, 236, 241, 246, 250

    Remarque : Développement sympa. Vous pourrez trouver deux appli au verso. Je vous conseille de faire un plan en 3 items pour le résultat principal. J'avais penser (trop tard dans l'année) de changer le dev : en hypothèse f de classe Schwartz pour aller plus vite sur le point 1 et remplacer l'appli par la bijectivité de la transformée de Fourier dans l'espace des fonctions Schwartz. Ca permettrait un recasage dans la 201
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 793 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 77 versions au total)
Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 19 versions au total)
Distributions, analyse de Fourier et transformation de Laplace, Lesfari (utilisée dans 2 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 175 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 262 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1, El Amrani (utilisée dans 42 versions au total)