Développement : Formule sommatoire de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ telle qu'il existe $M > 0$ et $\alpha > 1$ vérifiant $|f(x)| \le \frac{M}{ (1+|x|)^\alpha}$ pour tout $x$. Si $\sum_{\mathbb{Z}} | \widehat{f}(m)| < +\infty$ alors
$$ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(m) = 2 \pi \sum_{m \in \mathbb{Z}} f(2\pi m )$$

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  • Remarque :
    On peut ajouter en application l'équation fonctionnelle de la fonction \theta de Jacobi.

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 46 versions au total)
Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 7 versions au total)
Distributions, analyse de Fourier et transformation de Laplace, Lesfari (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)