Développement : Prolongement fonction Gamma d'Euler (+formule de Weierstrass)

Détails/Enoncé :

La fonction
\[\Gamma(z):=\int_{0}^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt\]
est bien définie et holomorphe sur $\Omega_0:=\{z\in \mathbb{C}~|~\Re(z)>0\}$.
Elle se prolonge à $\mathbb{C}\setminus-\mathbb{N}$ en une fonction méromorphe, dont le résidu en $-n$ est $\frac{(-1)^n}{n!}$. On a de plus la formule de Weierstrass
\[\frac{1}{\Gamma(z)}=z^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\]
qui prouve en particulier que $1/\Gamma$ se prolonge en une fonction entière.