Développement : Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Détails/Enoncé :

La fonction $\Gamma$ se prolonge à $\mathbb{C}$ privée de $-\mathbb{N}$

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    Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
    https://www.youtube.com/watch?v=06g-OONgV68&t=2s
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    Cette version permet de montrer que Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur C\-N qui ne s'annule jamais et qui a des pôles simples en les -n, n \in N, de résidu (-1)^n/n!. Elle utilise la formule des compléments, elle-même prouvée avec des techniques de prépa (i.e. élémentaires mais un peu calculatoires). À vous de voir ce que vous voulez prouver et ce que vous voulez admettre (mais maîtriser quand même) pour votre développement. Je n'ai pas de référence pour ce développement mais certains points sont faits dans Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques de Rombaldi.
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    Prérequis: critère d'holomorphie pour les produits de fonctions holomorphes.
    Contrairement à d'autres versions, je démontre que Gamma s'étends de façon méromorphe sur C VIA la formule de Weierstrass. Mais il y a beaucoup plus simple (à l'aide des IPP), qu'on peut rajouter, mais cela rallonge le développement déjà assez long ...
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    D'après moi pour les leçons : 207, 235, 239, 245 et 265.

    Version qui n'utilise pas la relation $\Gamma(z+1)=z * \Gamma(z)$, mais qui explicite $\Gamma$ comme la somme d'une fonction méromorphe sur C et d'une fonction entière.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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