Développement : Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Détails/Enoncé :

La fonction $\Gamma$ se prolonge à $\mathbb{C}$ privée de $-\mathbb{N}$

Recasages pour l'année 2024 :

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    Cette version permet de montrer que Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur C\-N qui ne s'annule jamais et qui a des pôles simples en les -n, n \in N, de résidu (-1)^n/n!. Elle utilise la formule des compléments, elle-même prouvée avec des techniques de prépa (i.e. élémentaires mais un peu calculatoires). À vous de voir ce que vous voulez prouver et ce que vous voulez admettre (mais maîtriser quand même) pour votre développement. Je n'ai pas de référence pour ce développement mais certains points sont faits dans Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques de Rombaldi.
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  • Remarque :
    Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
    https://www.youtube.com/watch?v=06g-OONgV68&t=2s
  • Auteur :
  • Remarque :
    Prérequis: critère d'holomorphie pour les produits de fonctions holomorphes.
    Contrairement à d'autres versions, je démontre que Gamma s'étends de façon méromorphe sur C VIA la formule de Weierstrass. Mais il y a beaucoup plus simple (à l'aide des IPP), qu'on peut rajouter, mais cela rallonge le développement déjà assez long ...
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    D'après moi pour les leçons : 207, 235, 239, 245 et 265.

    Version qui n'utilise pas la relation $\Gamma(z+1)=z * \Gamma(z)$, mais qui explicite $\Gamma$ comme la somme d'une fonction méromorphe sur C et d'une fonction entière.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner.
    Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive.

    Côté recasages à mon avis:
    Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre
    Fonctions usuelles et spéciales
    Problèmes d'interversion en analyse
    Fonctions holomorphes

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 211 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 27 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 274 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)