Développement : Théorème de Gauss-Wantzel

Détails/Enoncé :

Le but de ce développement est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur l’entier n pour que le n-gone régulier soit constructible à la règle non graduée et au compas.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Ce théorème n'a pas l'air d'utiliser d'outils sophistiqués mais il n'en est rien ! En effet, on utilise au tout début du développement qu'un nombre a est constructible si, et seulement si, le degré de l'extension L/Q avec L le corps de décomposition de a sur Q est une puissance de 2. Ce résultat est très puissant mais est assez difficile à démontrer : il faut utiliser le fait que l’extension est galoisienne pour en déduire que le groupe de Galois est un 2-groupe pour en déduire qu’il est résoluble (les p-groupes le sont de manière générale) puis conclure avec la correspondance de Galois. Pour la réciproque, il faut utiliser la clôture galoisienne pour montrer que l’extension C/Q est normale (avec C le corps des nombres constructibles à la règle non graduée et au compas) pour conclure grâce au théorème de l’élément primitif.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 115 versions au total)