Développement : Caractérisation d'un élément algébrique, structure des nombres algébriques et résultant

Détails/Enoncé :

Version adaptée pour la leçon 125, 141, 144 et 148

On montre le théorème de la base télescopique :

Théorème. (de la base télescopique).- Soient $K\subseteq L\subseteq M$ une tour de corps. Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel et $(f_j)_{j\in J}$ base de $M$ en tant que $L$-espace vectoriel. Alors $(e_if_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M$ en tant que $K$-espace vectoriel. De plus si $[L:K]<+\infty$ et $[M:L]<+\infty$ alors $[M:K]=[M:L][L:K]$.

Puis la caractérisation d'un élément algébrique :

Théorème.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. Soit $\alpha\in L$. On a équivalence entre :
(i) $\alpha$ est algébrique sur $K$
(ii) $K[a]=K(a)$
(iii) $[K[a]:K]<+\infty$.

On montre finalement :

Théorème.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$.

Version adaptée pour la leçon 127, 141, 144 et 149 (ou encore 148)

On montre les deux lemmes :

Lemme.- Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(P(X-Y),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda+\mu$

Lemme.- Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(Y^nP(\frac{X}{Y}),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda\mu$

Conséquence.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Version adaptée pour la leçon 125, 141, 144 et 148 : Théorème 1.4 et corollaire 1.5 p. 65, théorème 1.11 p. 66 et théorème 1.14 p. 67

    Remarque : L’essentiel du développement est dans le Perrin, et le Gozard sert à compléter certaines imprécisions et pour ce qui orbite autour de ce développement.
  • Références :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Version adaptée pour les leçons 127, 141, 144 et 149 (ou 148) : Lemme 18.5 p. 591. Je découpe le théorème 18.5 p. 593 en un second lemme et une conséquence.

    Remarque : Dans les leçons 127 et 149 (ou 148), on peut se permettre de rester dans le cadre des entiers algébriques, mais dans les leçons 141 et 144, il est nécessaire de remplacer $\mathbb{Q}(X)$ par $K(X)$ avec $K$ un corps, $\mathbb{Z}$ par $K$ (on pourrait se limiter à $A$ un anneau et $K=\mathrm{Frac}(A)$) et $\lambda,\mu$ des éléments de $L$ où $L$ est une extension de $K$.
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 57 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 512 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 625 versions au total)