Développement : Caractérisation d'un élément algébrique, structure des nombres algébriques et résultant

Détails/Enoncé :

Version adaptée pour la leçon 125, 141, 144 et 148

On montre le théorème de la base télescopique :

Théorème. (de la base télescopique).- Soient $K\subseteq L\subseteq M$ une tour de corps. Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel et $(f_j)_{j\in J}$ base de $M$ en tant que $L$-espace vectoriel. Alors $(e_if_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M$ en tant que $K$-espace vectoriel. De plus si $[L:K]<+\infty$ et $[M:L]<+\infty$ alors $[M:K]=[M:L][L:K]$.

Puis la caractérisation d'un élément algébrique :

Théorème.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. Soit $\alpha\in L$. On a équivalence entre :
(i) $\alpha$ est algébrique sur $K$
(ii) $K[a]=K(a)$
(iii) $[K[a]:K]<+\infty$.

On montre finalement :

Théorème.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$.

Version adaptée pour la leçon 127, 141, 144 et 149 (ou encore 148)

On montre les deux lemmes :

Lemme.- Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(P(X-Y),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda+\mu$

Lemme.- Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(Y^nP(\frac{X}{Y}),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda\mu$

Conséquence.- Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$.

Recasages pour l'année 2025 :

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