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Développement : Théorème de Wantzel

Détails/Enoncé :

Théorème [Wantzel].
Soit $t \in \mathbb{R}$. Alors $t$ est constructible ssi il existe une suite finie $L_0, \ldots, L_p$ de sous-corps de $\mathbb{R}$ tels que $L_0 = \mathbb{Q}$, $\forall i$, $L_{i+1}$ est une extension quadratique (c'est-à-dire de degré 2) de $L_i$ et $t \in L_p$.

Remarque : ce théorème est utilisé dans un autre développement sur le théorème de Gauss (ou Gauss-Wantzel).

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

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  • Remarque :
    À partir de P.25/16 (selon l'édition)

    Conseil de Perrin pour la leçon 191 : Faire peut-être plus vite la réciproque, en faisant aussi le corollaire "Constructible => Degré = 2^n" + Impossibilité de la duplication du cube
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  • Remarque :
    La preuve n'est pas hyper compliquée et le résultat final est plutôt joli. Il faut bien connaître les applications classiques (trisection de l'angle, duplication du cube et quadrature du cercle).

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Très bon développement où il ne faut pas hésiter à faire des dessins pendant la présentation. En plus de la démonstration du théorème de Wantzel, j'ai ajouté des compléments sur le théorie de la construction à la règle et au compas. Pour cela je me base quasiment exclusivement sur le Gozard.
    Le lien vers le document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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  • Remarque :
    J'adore ce théorème. Par contre les trois cas à gérer sont un peu lourd, mais faut passer par là. La référence c'est Invitation à l'algèbre de Janneret, que je préfère à Perrin sur ce dev là
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 24 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 38 versions au total)