Développement : Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Détails/Enoncé :

Un entier est somme de deux carrés si et seulement si la $p$-valuation de chacun des facteurs premiers $p$ congru à $3$ modulo $4$ est paire.


Cela revient à donner une condition nécessaire sur l'existence d'une solution à l'équation diophantienne

$$ n = x^2+ y^2$$

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  • Remarque :
    Francinou 1 p.158
  • Auteur :
  • Remarque :
    On montre que -1 est un carré modulo p ssi p=2 ou p = 1 (mod 4).
    On ne traite pas seulement le cas p premier mais également le cas n entier quelconque.
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  • Remarque :
    Recasages: 121, 126

    Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.

    Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.

    Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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  • Remarque :
    Recasages : 122,126,121,123

    J'ai pas l'impression que ça se fait beaucoup, mais ce dev rentre dans la 123 (je suis pas passée dessus mais je l'avais proposé en dev le jour de l'oral, c'est un dev que le jury connaît bien, et j'ai pas eu de soucis) : c'est une application de l'étude des carrés dans Fq*

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Preuve du Gourdon que je trouve plus élémentaire (mais c'est subjectif). Il y a une petite coquille d'ailleurs, pour montrer le lemme 1, dans son livre.

    Je prends ce développement pour les leçons 121, 122 et 127. (Attention à la 122, la preuve que je fais rends le recasage moins pertinent, je vais voir si je le garde d'ailleurs)

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 50.
  • Référence :
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Il est possible de montrer le résultat, puis de développer certains lemmes selon le temps restant.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 376 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Arithmetics , Hindry (utilisée dans 8 versions au total)
Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix (utilisée dans 7 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 407 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)