Développement : Lemme de Borel-Cantelli & Application aux nombres premiers

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 1.28 - Dugardin, Rezzouk p. 72

Soit $(A_n)$ une suite d'évènements. On pose $A=\underset{n \geqslant 0}{\bigcap} \left( \underset{k \geqslant n}{\bigcup} A_k \right)$.
1) Montrer que si la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n)$ converge alors $\mathbb{P}(A)=0$.
2) Application de la question 1.
Soit $(X_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de V.A. et $X$ une V.A. discrète. Pour $\epsilon > 0$ on pose $A_n(\epsilon) = \lbrace \vert X_n - X \vert > \epsilon \rbrace$. Montrer que si pour tout $\epsilon > 0$, la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n(\epsilon))$ converge alors la suite $(X_n)$ converge p.s. vers X, i.e. il existe $\mathcal{A}$ tel que $\mathbb{P}(\mathcal{A}) = 1$ et pour tout $\omega \in \mathcal{A}$,$\underset{n \rightarrow + \infty}{\lim} X_n(\omega)=X(\omega)$.
3) On suppose que les évènements $A_n$ sont indépendants, montrer que si la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n)$ alors $\mathbb{P}(A)=1$.
4) On tape aléatoirement du texte au clavier, chaque caractère étant équiprobable. Montrer que p.s. le texte tapé (supposé très grand) contiendra n'importe quel ouvrage littéraire connu.

Exercice 1.31 p. 77 - Une autre application

Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas de probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\mathbb{N}^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P} \lbrace$multiples de $n \rbrace = \frac{1}{n}$. On note $(p_k)_{k \geqslant n}$ la suite croissante des nombres premiers. On raisonne par l'absurbe en supposant que cette probabilité existe.

1) Montrer que les évènements $A_{p_k} = \lbrace$multiples de $p_k \rbrace$ pour $k \geqslant 1$ sont indépendants.
2) Que penser de le nature de la série $\underset{k \geqslant 1}{\sum} \mathbb{P}(A_{p_k})$?
3) Conclure.

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