Leçon 103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

(2016) 103
(2018) 103

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.

(2016 : 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.) Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.
(2015 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions. Pour les candidats les plus téméraires, on pourra noter que le treillis des sous-groupes distingués d'un groupe fini se voit dans sa table de caractères, ainsi que l'indice du sous-groupe dérivé.
(2014 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


2016 : Leçon 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.


2015 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Éléments de théorie des groupes, Calais (utilisée dans 13 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 37 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 285 versions au total)
Algèbre , Lang (utilisée dans 4 versions au total)