Leçon 107 * : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

(2018) 107

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Exemples.) Il s’agit d’une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. D’une part, il est indispensable de savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes, et d’autre part, il faut savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et être capable de trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les représentations peuvent provenir d’actions de groupes sur des ensembles finis, de groupes d’isométries, d’isomorphismes exceptionnels entre groupes de petit cardinal. Inversement, on peut chercher à interpréter des représentations de façon géométrique, mais il faut avoir conscience qu’une table de caractères provient généralement de représentations complexes a priori non réelles. La présentation du lemme de Schur est importante et ses applications doivent être parfaitement maîtrisées. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer dans la construction de l’icosaèdre à partir de la table de caractères de $\mathfrak{A}_5$ en utilisant l’indice de Schur (moyenne des caractères sur les carrés des éléments du groupe) ou évoquer la transformée de Fourier.

(2016 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $C$-espace vectoriel.) Il s’agit d’une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. D’une part, il est indispensable de savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes, et d’autre part, il faut savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et être capable de trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les représentations peuvent provenir d’actions de groupes sur des ensembles finis, de groupes d’isométries, d’isomorphismes exceptionnels entre groupes de petit cardinal. Inversement, on peut chercher à interpréter des représentations de façon géométrique, mais il faut avoir conscience qu’une table de caractères provient généralement de représentations complexes à priori non réelles. La présentation du lemme de Schur est importante et ses applications doivent être parfaitement maîtrisées. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer dans la construction de l’icosaèdre à partir de la table de caractères de $\mathfrak{A}_5$ en utilisant l’indice de Schur (moyenne des caractères sur les carrés des éléments du groupe).
(2015 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.) Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit, d'une part, savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit, d'autre part, savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et savoir également trouver la table de caractères de certains sous-groupes. On voit souvent dans les développements qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations. Le caractère est un outil puissant, mais il reste un outil, ce n'est pas l'intérêt ultime de la leçon. Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Par exemple, diagonaliser une application linéaire de $V$ dans $V'$ est une faute avérée, il faut pour cela identifier $V$ et $V'$, ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.
(2014 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.) Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit d'une part savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit aussi savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et aussi savoir trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les développements prouvent souvent qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations. Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Ce qui revient implicitement à identifier $V$ et $V'$ , ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.

Plans/remarques :

2019 : Leçon 107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.


2018 : Leçon 107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.


2017 : Leçon 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Exemples.


2016 : Leçon 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $C$-espace vectoriel.


2015 : Leçon 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    On m'a demandé de détailler pour quelle raison un groupe $G$ dont le quotient par le centre est cyclique, est nécessairement abélien.

    Sur le plan :
    Commentaires sur la table de caractères de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ils attendaient que je dise qu'il s'agit d'une matrice de Vandermonde. Je n'ai pas su l'interpréter cependant, mais nous sommes passés à autre chose.
    Démontrer que le groupe dual de $\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $2$ (ie on ne trouve que la signature et le caractère trivial) pour $n\geq 2$.
    Expliquer l'identité $\mathcal L(E,F)^G = \operatorname{Hom}_G(E,F)$.
    Comment démontrer qu'une représentation est irréductible ? (On calcule la norme du caractère associé) Illustrer ce principe avec la représentation standard de $\mathfrak{S}_5$.
    Peut-on lire des informations sur la table de caractère d'un groupe ? (Oui, on peut repérer les sous-groupes distingués. On ne m'a pas demandé de preuve mais juste d'expliquer, et d'illustrer sur un exemple)
    Commentaires sur le théorème de Maschke : comment marche-t-il ? Est-il encore vrai dans d'autres contextes (ie on quitte $\mathbb C$).

    Pas d'exercice à proprement parler.

    Sur les cinq dernières minutes, on est partis en terre inconnue sur ce qu'on pourrait dire de représentations de groupes infinis. On m'a demandé de donner des exemples de représentations de $SO_2(\mathbb R)$ (abélien, on s'attend à ce que les irréductibles soient de degré $1$) et de $SO_3(\mathbb R)$. C'était des questions assez informelles sur la toute fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant. J'ai été surpris par les questions qui m'ont été posées: toutes portaient sur le plan, aucun exercice, et des questions assez ouvertes. On m'a plus souvent demandé si je connaissais un résultat plutôt que si j'en connaissais la preuve.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    20


2018 : Leçon 107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan ou le développement. On m'a par contre demandé de mettre en application le théorème pour déterminer les sous-groupe distingués de S4. Puis le jury est parti assez loin dans les questions, on a dérivé sur les transvections...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des jurés a presque monopolisé la parole en posant quasiment toutes les questions (la seule femme du jury n'en a posé aucune). Le jury m'alimentait en permanence de questions, de sorte que je ne reste pas sans rien faire au tableau même quand je ne trouvais pas les réponses. L'expérience était vraiment positive, même si la note n'était pas très bonne à l'arrivée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris qu'il n'y ait pas de questions sur le plan ou le développement. J'avais à disposition un tableau blanc (velleda).

  • Note obtenue :

    8