(2017 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Exemples.)
Il s’agit d’une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. D’une part, il est indispensable de savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes, et d’autre part, il faut savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et être capable de trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les représentations peuvent provenir d’actions de groupes sur des ensembles finis, de groupes d’isométries, d’isomorphismes exceptionnels entre groupes de petit cardinal. Inversement, on peut chercher à interpréter des représentations de façon géométrique, mais il faut avoir conscience qu’une table de caractères provient généralement de représentations complexes a priori non réelles. La présentation du lemme de Schur est importante et ses applications doivent être parfaitement maîtrisées. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer dans la construction de l’icosaèdre à partir de la table de caractères de $\mathfrak{A}_5$ en utilisant l’indice de Schur (moyenne des caractères sur les carrés des éléments du groupe) ou évoquer la transformée de Fourier.
(2016 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $C$-espace vectoriel.)
Il s’agit d’une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. D’une part, il est indispensable de savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes, et d’autre part, il faut savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et être capable de trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les représentations peuvent provenir d’actions de groupes sur des ensembles finis, de groupes d’isométries, d’isomorphismes exceptionnels entre groupes de petit cardinal. Inversement, on peut chercher à interpréter des représentations de façon géométrique, mais il faut avoir conscience qu’une table de caractères provient généralement de représentations complexes à priori non réelles. La présentation du lemme de Schur est importante et ses applications doivent être parfaitement maîtrisées.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer dans la construction de l’icosaèdre à partir de la table de caractères de $\mathfrak{A}_5$ en utilisant l’indice de Schur (moyenne des caractères sur les carrés des éléments du groupe).
(2015 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.)
Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit, d'une part, savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit, d'autre part, savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et savoir également trouver la table de caractères de certains sous-groupes.
On voit souvent dans les développements qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations. Le caractère est un outil puissant, mais il reste un outil, ce n'est pas l'intérêt ultime de la leçon.
Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Par exemple, diagonaliser une application linéaire de $V$ dans $V'$ est une faute avérée, il faut pour cela identifier $V$ et $V'$, ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.
(2014 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.)
Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit d'une part savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit aussi savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et aussi savoir trouver la table de caractères de certains sous-groupes.
Les développements prouvent souvent qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations.
Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Ce qui revient implicitement à identifier $V$ et $V'$ , ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.
