Leçon 153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

(2025) 153

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction ; les polynômes d'endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre Krus, en particulier en connaître la dimension, et aux liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre Krus. Il est ensuite possible de s'intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire et suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Le lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître des conséquences théoriques et pratiques. On attend que la candidate ou le candidat soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). L'aspect applications est trop souvent négligé. Il est par exemple possible d'envisager des applications au calcul de $A^k$ à l'aide d'un polynôme annulateur, aux calculs d'exponentielles de matrices ou de mener l'analyse spectrale de matrices stochastiques. Pour aller plus loin, la candidate ou le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par exemple l'étude de l'extraction de racines ou du logarithme.

(2023 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder le bagage théorique propre aux vecteurs propres et aux valeurs propres et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre ni, matrices stochastiques...) et donne des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$ une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. On peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et $QR$ pour la recherche d'éléments propres. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu et illustré. On peut aussi s'intéresser à la localisation des valeurs propres. Pour aller plus loin, on peut aborder la problématique du conditionnement en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes, s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être faits avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matrices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.
(2022 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder la notion de vecteurs propres et de valeurs propres de façon générale et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre fini...) et donné des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur R ou C une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = AX_n$ doit être connu et illustré. On peut s'intéresser à la localisation des valeurs propres. La problématique du conditionnement doit être abordée en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes. Parmi les points intéressants à développer, on peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et QR pour la recherche d'éléments propres. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matriices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Elements propres, outils de calcul et approximation numérique
    1) Elements propres, généralités
    2) Polynôme annulateur et minimal
    3) Polynôme caractéristique
    4) Calcul approché (méthode de Jacobi)
    II. Utilisation en réduction
    1) Lemme des noyaux et Dunford
    2) Diagonalisation, trigonalisation
    3) Matrices symétriques et hermitiennes
    III. Applications
    1) Suite récurrente (DVT : suite de polygones)
    2) Resolution d'équa diff et exponentielle de matrice
    3) Normes matricielles et valeurs propres (DVT : méthodes itératives, DVT : Sylvester)

  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :

2024 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    La plus analytique des leçons d'algèbre ? Quoi qu'il en soit je suis tombé dessus cette année et j'ai dû la choisir malgré que je déteste l'analyse matricielle.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Plan semi détaillé.

    Leçon avec laquelle je suis pas à l'aise. Je pense avoir mis le minimum. Les gens avec une autre option je pense seront plus à l'aise.
  • Fichier :

2023 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.


Retours d'oraux :

2026 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

  • Leçon choisie :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

  • Autre leçon :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Disques de Gerschgorin-composantes connexes

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le dev ils m'ont demandé de justifier la fin du lemme d'Hadamard (SDD implique inversible), puis de détailler le lemme que j'avais admis, disant que si une suite de matrices (Ap) converge vers A, alors à l'ordre près les valp de (Ap) dans C convergent vers celle de A, ils voulaient que je donne l'énoncé précis, et une idée de la démo. Enfin ils m'ont demandé de définir les composantes connexes, dans le cas précis des disques de Gershgorin, puis dans le cas général.

    Ensuite sur le plan, ils m'ont demandé de prouver que les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal. Dans mon plan je mettais que si toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle < 0, |||exp(tA)||| est en O(exp(-delta*t)) avec un certain delta > 0, ils m'ont demandé de donner ce delta, et une idée de comment on le prouve. Ensuite ils m'ont demandé plus de détails sur la décomposition de Jordan que j'avais mentionnée, à quoi correspondent les blocs de Jordan, leurs tailles et le nombre de 1 sur les sous diagonales. Ils ne m'ont pas posé de questions sur les méthodes numériques de calcul approché que j'avais mis en fin de plan, et j'étais content car je maîtrisais pas du tout

    Enfin ils m'ont donné un exo, calcul de la dimension du commutant de u pour u diagonalisable. J'ai assez rapidement dit que si v commutent avec u, ils sont co diagonalisables (ce qui est faux, pck on suppose pas v diagonalisable) et à partir de là ils m'ont guidé jusqu'à la fin, sans trop me laisser le temps de réfléchir, sûrement car l'oral était bientôt fini.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très froid, particulièrement une examinatrice, qui m'interrompait assez sèchement chaque fois que j'étais imprécis, ou que je répondais pas ce qu'elle attendait

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'imaginais les jurys plus sympas

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2024 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Leçon choisie :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Longs échanges à propos du développement, quelques questions sur le plan. Puis un petit exercice (trouver le maximum sur la sphère unité de la fonction $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ pour $u$ endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    RAS. Le jury était peu bavard, mais efficace dans ses questions. Ils cherchent vraiment à tester la compréhension des résultats écrits par le candidat. Ah si, un membre a qualifié ma défense du plan de "lecture insipide" (mais c'était probablement le cas, ce n'est pas un point sur lequel j'ai travaillé au cours de l'année).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Alors, premier jour donc pas mal d'organisation à expliquer. On tire les couplages, et je me décompose littéralement en découvrant deux sujets que je ne maîtrise pas. Je me ressaisis et choisis la leçon qui me parle le plus, et dont les développements sont les plus simples (histoire de réussir au moins ça).
    La préparation se passe bien, mais je m'y étais préparé au cours de l'année. J'ai globalement fait le plan que j'avais prévu, qu'on peut découper en deux grosses parties : calcul exact de valeurs propres / localisation et calcul approché de valeurs propres.
    Pendant l'oral j'ai l'impression de plutôt bien réussir sur les questions qui concernent la première partie, mais je n'ai quasi rien réussi sur la deuxième. Je ressors donc extrêmement pessimiste de ce premier jour.
    Finalement, la note obtenue est au-dessus de mes espérances.

    Au niveau du temps, on a bien eu pile poil les trois heures de préparation et on a même un petit temps pour relire le développement choisi par le jury. Donc il faut penser à le rédiger proprement au brouillon.

  • Note obtenue :

    10.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 650 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 25 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 83 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 146 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 147 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 134 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 315 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 66 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 357 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 38 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 78 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 35 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 76 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 9 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 184 versions au total)
Analyse Numérique, Francis Filbet (utilisée dans 6 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)