Développement : Théorème de Floquet

Détails/Enoncé :

Soit $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n (\mathbb{C})$ continue et $T$-périodique, où $T > 0$.

Soit $(Y_1, \ldots, Y_n)$ une base de solutions du système différentiel $(\mathcal{H})$ : $X' (t) = A (t) X (t)$. On note $M = (Y_1 | \cdots |Y_n)$.

Alors, il existe $B \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C})$ telle que :
\[ \forall t \in \mathbb{R} \quad M (t + T) = M (t) e^{TB}, \]
et pour cette matrice $B$, il existe $Q : \mathbb{R} \rightarrow \text{GL}_n (\mathbb{C})$ $T$-périodique telle que :
\[ \forall t \in \mathbb{R} \quad M (t) = Q (t) e^{tB} . \]

On démontre également un corollaire de ce théorème, puis on en présente une application.

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Un théorème sympathique. La théorie de Floquet va bien plus loin que ça, mais bien entendu on ne peut pas autant en parler à l'agrégation (que ça soit en leçon, en développement ou pendant les questions).

    J'ai préféré créer une version de ce développement à part parce que je ne parle pas de l'équation de Hill.

    Attention aux coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 86 versions au total)