(2020 : 103 - Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.)
Dans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d’abord l’accent sur la conjugaison dans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué.
La notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal, groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d’un espace vectoriel, groupe affine d’un espace affine, groupe
orthogonal, etc. Il est bon de montrer que la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant l’action par conjugaison). L’étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d’une action d’un groupe, il faut savoir que les stabilisateurs d’éléments d’une même orbite sont conjugués. On peut aussi illustrer et utiliser le principe du « transport par conjugaison » voulant que $hgh^{-1}$ ait la même « nature géométrique » que g et que ses caractéristiques soient les images par h des caractéristiques de g (conjugaison d’une transvection, d’une translation, d’une réflexion, etc.).
Concernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c’est précisément le concept qui permet de munir le quotient d’une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une
caractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme $\phi$ est incontournable ainsi que l’isomorphisme $G/Ker(\phi) \simeq Im(\phi)$. Des exemples bien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l’un des deux groupes G ou $G/H$ peuvent être résolus en utilisant l’autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l’un et de l’autre). L’examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé.
Il est important de s’attarder sur l’utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique sont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre linéaire. On peut ainsi expliquer comment l’étude des classes de conjugaison permet de démontrer la simplicité de certains groupes comme $SO_n$, étudier le groupe des homothéties-translations distingué dans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont conjugués ou encore qu’un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En
algèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d’un endomorphisme permettent d’établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d’une forme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^*/(K^*)^2$.
S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de G et de $G/H$, etc.). La notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de
les évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des applications.
(2019 : 103 - Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.)
Pour la session 2020 le titre cette leçon évolue en
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes
quotients. Applications.
Dans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d’abord l’accent sur la conjugaison dans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué.
La notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal, groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d’un espace vectoriel, groupe affine d’un espace affine, groupe orthogonal, etc. Il est bon de montrer que la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant
l’action par conjugaison). L’étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d’une action d’un groupe, il faut penser que les stabilisateurs d’éléments d’une même orbite sont conjugués. On peut aussi illustrer et utiliser le principe du « transport par conjugaison » voulant que $hgh^{-1}$ ait la même « nature géométrique » que $g$ et que ses caractéristiques soient les
images par $h$ des caractéristiques de $g$ (conjugaison d’une transvection, d’une translation, d’une réflexion, etc.).
Concernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c’est précisément la notion qui permet de munir le quotient d’une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une caractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme $\phi$ est incontournable ainsi que l’isomorphisme $G/Ker(\phi) \simeq Im(\phi)$. Des exemples
bien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l’un des deux groupes $G$ ou $G/H$ peuvent être résolus en utilisant l’autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l’un et de l’autre). L’examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé.
Il est important de s’attarder sur l’utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique sont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre linéaire. On peut ainsi expliquer comment l’étude des classes de conjugaison permet de démontrer la simplicité de certains groupes comme $SO_n$ , étudier le groupe des homothéties-translations distingué dans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont conjugués ou encore qu’un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En algèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d’un endomorphisme permettent d’établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d’une forme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^*/(K^*)^2$.
S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de $G$ et de $G/H$, etc.). La notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de les évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des
applications.
(2017 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.)
Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple).
S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.
(2016 : 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.)
Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple).
S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.
(2015 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.)
Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions. Pour les candidats les plus téméraires, on pourra noter que le treillis des sous-groupes distingués d'un groupe fini se voit dans sa table de caractères, ainsi que l'indice du sous-groupe dérivé.
(2014 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.)
Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple).
On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions.
