Développement : Théorème de simplicité d'Iwasawa

Détails/Enoncé :

Soit $G$ agissant sur $X$ (de cardinal au moins $2$) fidèlement et doublement transitivement (i.e. : l'action de $G$ sur $X\times X$ a deux orbites : la diagonale et le reste). On suppose :
- $G$ est engendré par ses commutateurs ;
- pour un $x\in X$, le stabilisateur $G_x$ contient $K$ abélien distingué dans $G_x$ tel que $\{gkg^{-1}, g \in G, k \in K\}$ engendre $G$.
Alors $G$ est simple.

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement 1.4 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    On peut (et il faut savoir) montrer qu'on en déduit la simplicité de $\mathfrak A_5$ et celle de $\text{PSL}_2(\mathbf K)$ (avec $\mathbf K$ contenant au moins quatre éléments) ; cependant je pense que ça ne peut pas rentrer dans les 15 minutes.