Développement : Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Fabien Thireau

J'ai pris ce développement dans le carnet de voyage en Analystan de Caldero, disponible dans certaine BU. Attention ce livre n'étant pas commercialiser, on ne peut l'utiliser le jour J il faut donc le connaitre par coeur.

Julie_D

Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.

Matthieu C.

Développement sur lequel je suis passé le jour J, donc j'ai bien détaillé la manière donc cela s'est passé dans mon retour d'oral.
Développement très sympa, résultat plutôt mignon, pas spécialement difficile mais qui rentre quand même bien dans les attentes dans plusieurs leçons sur les groupes. Méfiez vous sur la référence : il y a une erreur dans la majoration finale. Essentiellement, ils font une soustraction de deux inégalités, ce qui est bien entendu faux. Regardez-le avant le jour J parce que dans mon cas je n'arrivais plus à retrouver la fin du développement, et j'ai bien vu que la référence contenait une malheureuse coquille... Pas foufou pour se mettre en confiance lors de la préparation de l'oral. Inutile de dire qu'il faut connaître des cas d'égalité (je dis bien des, on m'en a demandé deux : le groupe diédral et les quaternions H8).
Côté recasages à mon avis:

Groupe opérant sur un ensemble
Groupes finis
Conjugaison dans un groupe
Méthodes combinatoires (se justifie surtout grâce à la preuve de la formule de Burnside surtout, mais on peut faire quand même beaucoup mieux dans cette leçon je pense...)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Elouan Renault

Je ne vais pas passer par quatre chemins : c’est mon développement préféré. Et par chance, je suis passé sur ce développement lors de mon oral d’algèbre et géométrie. La preuve du théorème de Dixon est technique, mais le calcul de $n(D_8)$ est assez intuitif. De plus, ce développement possède l’immense avantage de mêler algèbre et géométrie, et vous offre l’opportunité de dessiner, ce qui sera apprécié par le jury.

Axel Bonneau

Recasages: 101, 103, 104

Ce dév est assez court, je le faisais tenir en 13 minutes en prenant mon temps.