Développement : Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Détails/Enoncé :

On montre que la probabilité de tirer deux éléments qui commutent dans un groupe non abélien est toujours majoré par 5/8 et que l'on peut calculer explicitement cette probabilité en fonction du nombre de classes de conjugaisons et le cardinal du groupe
On applique alors ce résultats a un groupe de matrice sur un corps fini.

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Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Version de Fabien Thireau

Auteur :
Fabien Thireau
Remarque :
J'ai pris ce développement dans le carnet de voyage en Analystan de Caldero, disponible dans certaine BU. Attention ce livre n'étant pas commercialiser, on ne peut l'utiliser le jour J il faut donc le connaitre par coeur.
Fichier :
- Probabilité que deux éléments commutent.pdf

Version de Julie_D

Auteur :
Julie_D
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 115 versions au total)