Leçon 103 * : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

(2019) 103

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 103 - Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.) Pour la session 2020 le titre cette leçon évolue en Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications. Dans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d’abord l’accent sur la conjugaison dans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué. La notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal, groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d’un espace vectoriel, groupe affine d’un espace affine, groupe orthogonal, etc. Il est bon de montrer que la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant l’action par conjugaison). L’étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d’une action d’un groupe, il faut penser que les stabilisateurs d’éléments d’une même orbite sont conjugués. On peut aussi illustrer et utiliser le principe du « transport par conjugaison » voulant que $hgh^{-1}$ ait la même « nature géométrique » que $g$ et que ses caractéristiques soient les images par $h$ des caractéristiques de $g$ (conjugaison d’une transvection, d’une translation, d’une réflexion, etc.). Concernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c’est précisément la notion qui permet de munir le quotient d’une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une caractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme $\phi$ est incontournable ainsi que l’isomorphisme $G/Ker(\phi) \simeq Im(\phi)$. Des exemples bien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l’un des deux groupes $G$ ou $G/H$ peuvent être résolus en utilisant l’autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l’un et de l’autre). L’examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé. Il est important de s’attarder sur l’utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique sont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre linéaire. On peut ainsi expliquer comment l’étude des classes de conjugaison permet de démontrer la simplicité de certains groupes comme $SO_n$ , étudier le groupe des homothéties-translations distingué dans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont conjugués ou encore qu’un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En algèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d’un endomorphisme permettent d’établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d’une forme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^*/(K^*)^2$. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de $G$ et de $G/H$, etc.). La notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de les évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des applications.

(2017 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.
(2016 : 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.) Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.
(2015 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions. Pour les candidats les plus téméraires, on pourra noter que le treillis des sous-groupes distingués d'un groupe fini se voit dans sa table de caractères, ainsi que l'indice du sous-groupe dérivé.
(2014 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions.

Développements :

Plans/remarques :

2020 : Leçon 103 - Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.


2018 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


2017 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


2016 : Leçon 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.


2015 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 103 - Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Leçon choisie :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Simplicité du groupe alterné An

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury commence par me poser des questions sur le développements:
    * Réexpliquer pourquoi dans $\mathcal{A}_5$, si a est un $5$-cycle alors un autre $5$-cycle est conjugué de a ou a² (je l'avais expliqué à l'oral)*
    * Donner un argument rapide pour dire que a et a² ne sont pas conjugués dans $\mathcal{A}_5$ (On regarde le cardinal de la classe de conjugaison de a qui est l'ensemble des $5$-cycles).

    On en vient aux questions sur le plan:
    * Je donne en application du premier théorème d'isomorphisme le théorème chinois, on me demande de préciser l'isomorphisme (donc de refaire la preuve) et d'indiquer comment en trouver la réciproque (en utilisant le théorème de Bézout).
    On me demande alors si je connais un algorithme rapide de calcul des coefficients de cette écriture, j'ouvre grand les yeux de surprise et indique que je ne connais que l'algorithme d'Euclide étendu mais n'ai aucune idée de sa rapidité, on passe à autre chose.
    *Dans mon plan je définis deux éléments conjugués comme deux éléments dans une même orbite pour l'action d'un groupe sur lui-même par conjugaison. On me fait remarqué qu'après j'applique cette définition aux matrices et on me demande si il n'y a pas un problème, je répond que oui puisque l'ensemble des matrices n'est pas un groupe multiplicatif (ndlr: il serait surement préférable de ne pas chercher à le définir et de se contenter de donner des exemples ou, même si je ne suis pas sûr que ca fonctionne, parler d'action des inversibles sur un anneau par conjugaison).

    Premier exercice:
    On se donne $G$ un p-groupe, on cherche à démontrer que pour tout diviseur $d$ du cardinal de $G$ il existe un sous-groupe de $G$ de cardinal $d$.
    *J'énonce mon idée: démontrer l'existence d'un sous-groupe non trivial distingué et utiliser une récurrence forte et un passage au quotient pour obtenir le résultat.
    *On me demande alors, logiquement, comment garantir l'existence d'un tel sous-groupe.
    Je passe une minute à réfléchir à voix haute, dire toutes les bêtises qui me passent par la tête et à expliquer pourquoi ca ne fonctionne pas (parfois avec l'aide du jury). On me demande alors de donner la définition du centre d'un groupe, je la donne et fini par réagir? Je redémontre alors que le centre d'un p-groupe est non-trivial (on utilise la formule des classes, voir Perrin prop 4.15).
    *On en revient alors au théorème.
    Je donne le cardinal de l'image réciproque d'un sous-groupe $H$ de $G/Z(G)$ par la projection canonique (si $H$ est de cardinal $a$ et $Z(G)$ de cardinal $b$ l'image réciproque est de cardinal $ab$) et je dis qu'il faudrait redémontrer que c'est un sous-groupe, on me dit que ce n'est pas nécessaire,. Avec un peu d'aide du jury j'explique comment avec la récurrence forte on peut trouver un sous-groupe qui convient, soit en regardant un sous-groupe image réciproque par la projection canonique, soit en regardant un sous-groupe du centre.

    Deuxième exercice:
    Que dire de l'action par conjugaison de $O_n(\mathbf{R})$ sur $S_n(\mathbf{R})$ ?
    * Je commence par montrer que cette action est bien définie.
    * Je précise que le théorème spectral nous assure que l'orbite contient une matrice diagonale. On me demande si elle est unique. Je répond que non à cause de l'algorithme de Gauss et de la description des orbites pour l'action par congruence. On me demande si ce que je dis s'applique ici, je répond que non puisque c'est l'action de $Gl_n(\mathbf{R})$. On en reste là pour l'instant

    Troisième exercice:
    On considère une matrice réelle $A$ telle qu'elle soit semblable à $2A$, que dire de $A$ ?
    *Ayant encore mon deuxième développement en tête je cherche à exprimer le polynôme caractéristique de $2A$ (noté $P_{2A}$) à partir de celui de $A$ (noté $P_A$). J'écris $P_{2A}=2^n\,P_A$, on me dit que l'idée est bonne mais que c'est faux. On me fait reprendre la définition, je montre alors que $P_{2A}(X)=2^n\,P_A(X/2)$ (où n est la taille de la matrice).
    * Avec l'aide du jury je fini par dire que , puisque deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique $P_A(X)=2^n\,P_A(X/2)$, on m'indique que je peux conclure avec ça, je prends le temps de réfléchir et explique si $\lambda$ est une valeur propre non nul de $A$, alors c'est également le cas de $\lambda/2$, $\lambda/4$ etc, on a donc plus de valeurs propres que la dimension de l'espace, c'est absurde, $A$ est donc nilpotente.

    Retour au deuxième exercice:
    On considère la matrice $ \left(\begin{array}{ll}
    1 & 0 \\
    0 & 2 \\

    \end{array}\right) $, donner une autre matrice diagonale dans son orbite.
    Péniblement je fini par regarder ce que donne le conjugué par la matrice $ \left(\begin{array}{ll}
    0 & 1 \\
    1 & 0 \\

    \end{array}\right) $ (c'est $ \left(\begin{array}{ll}
    2 & 0 \\
    0 & 1 \\

    \end{array}\right) $). L'oral se termine là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été dans l'ensemble bienveillant bien que l'un des membres avait l'air parfois peu convaincu par mes réponses (mais ce n'était peut-être qu'une impression). Il n'hésitait pas à aider en donnant des indications ou en indiquant à creuser une piste.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surpise.

  • Note obtenue :

    15


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  • Leçon choisie :

    103 : Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le dév (Lie Kolchin) notamment sur le côté groupe topologique : pour quelle topologie. J'ai dû détailler pourquoi la topologie usuelle sur Mn(C) donne bien que Gln(C) est un groupe topologique. Ils m'ont demandé beaucoup de détails pour juste dire que le produit et l'inverse étaient continus.
    Apres je m'étais un peu planté dans la précipitation pour montrer que les sous groupes dérivés étaient bien connexes, donc ils m'ont demandé de redétailler ce point (conclusion : il faut vraiment relire son dev en entier avant de passer meme sur les points qu'on pense avoir bien en tete)

    Ensuite ils m'ont demandé de donner D(SLn(C)) pour n>=3.
    Ensuite j'ai du montrer que si G est un groupe de cardinal n non abélien, alors G/Z(G) ne peut pas etre cyclique.

    Ensuite on m'a demandé de montrer que dans ce cas la (ie G non abélien), n/4 <= Card(Z(G)) <= n/2, ce qui (je m'en suis rendu compte a froid) est faux (on a card(Z(G)) <= n/4 puisque G/Z ne peut pas etre d'ordre 2 ou 3 ce qui le rendrait cyclique). Puis que quand g et h sont des variables aléatoires uniformes sur les éléments du groupe : Proba(gh = hg) <= 5/8 mais l'oral s'est arrêté avant que je commence a trouver quelque chose.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury avait en moyenne une bonne attitude, ils me laissaient un peu de temps pour réfléchir et me filaient des tuyaux au bout de ce moment si je trouvais rien.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, finalement on a a peu pres eu nos 3h de préparation, pas de grosse surprise.

  • Note obtenue :

    17


2017 : Leçon 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.