Développement : Théorème de Dixon

Détails/Enoncé :

Théorème: (de Dixon) Soit $G$ groupe non-abélien fini et $p(G)$ la probabilité pour que deux éléments de $G$ tirés uniformément et indépendemment commutent.
Alors: $p(G)\leq \frac{5}{8}$.

Application: Soit $\mathbf{D}_8$ groupe diédral à 8 éléments.
Alors: $p(\mathbf{D}_8) = \frac{5}{8}$.

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  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Développement plutôt facile mais les questions derrières peuvent être compliqué. Je suis resté dans les démonstrations théoriques mais il faut avoir travaillé des exemples et applications (groupe diédrale).

    Une question intéressante posée à un ami lors de son oral blanc : Que vaut cette probabilité lorsque l'on considère un produit direct de deux groupes?

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 60 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 59 versions au total)