Développement : Théorème de Dixon

Détails/Enoncé :

Théorème: (de Dixon) Soit $G$ groupe non-abélien fini et $p(G)$ la probabilité pour que deux éléments de $G$ tirés uniformément et indépendemment commutent.
Alors: $p(G)\leq \frac{5}{8}$.

Application: Soit $\mathbf{D}_8$ groupe diédral à 8 éléments.
Alors: $p(\mathbf{D}_8) = \frac{5}{8}$.

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Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Version de Jouaucon

Auteur :
Jouaucon
Remarque :
Développement assez abordable de théorie des groupes consistant d'un théorème et d'une application.

Résultats bonus:
1. Si G est un groupe tel que G/Z(G) est abélien, alors G est abélien.
2. Le groupe des quaternions H8 vérifie p(H8) = 5/8.

Développement n°16 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Dixon.pdf

Version de Julie_D

Auteur :
Julie_D
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Version de Louis D

Auteur :
Louis D
Remarque :
Pas de groupe diédral dans ma version.
On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve.

Attention aux coquilles.
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Dixon.pdf

Version de ma_tilde

Auteur :
ma_tilde
Remarque :
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

Développement plutôt facile mais les questions derrières peuvent être compliqué. Je suis resté dans les démonstrations théoriques mais il faut avoir travaillé des exemples et applications (groupe diédrale).

Une question intéressante posée à un ami lors de son oral blanc : Que vaut cette probabilité lorsque l'on considère un produit direct de deux groupes?

Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
Fichier :
- Dixon.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 59 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 85 versions au total)