Développement : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Inèss

Coquillages & Poincaré

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

abarrier

F.A.

Pour la leçon 221, et éventuellement 205 mais je pense qu'il est alors préférable de faire le théorème de Cauchy-Lipschitz global.

Ma démonstration est en fait une adaptation de celle du théorème de Cauchy-Lipschitz local, ce qui évite d'avoir à en retenir deux si l'on souhaite le choisir également comme développement.

Comme pour la version que j'ai proposée du théorème de Cauchy-Lipschitz global sur le site, je n'ai malheureusement pas de référence.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Admin

Admin

Chapitre 27 p520-521

Crépusculaire

Développement un peu long mais assez facile.

EWna

Recasages: 206, 220, 221

Page 61

Mon site: https://esuong-maths.fr

Demesmay

adrien pautre

Hugo

La preuve présentée ici est issue du Pommelet. Je la trouve cependant mieux rédigée dans le Dantzer.

Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

ma_tilde

Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

A chaque entrainement je dépassais largement les 15 minutes, j'ai donc fait le choix de présenter uniquement la partie où l'on se place dans le cas d'un intervalle fermée, la deuxième en découlant. Dans tous les cas, il faut savoir démontrer la deuxième partie qui est le cas général.

Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Chloé

Matthieu C.

Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails.
La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!)

Les recasages à mon avis:
Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral)
EDO linéaires
Application de la dimension finie en analyse
Eventuellement espaces vectoriels normés
Il est à mon avis hors sujet dans la leçon "illustrer par des exemples la théorie des edos"... C'est pas un exemple quoi...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

kureru

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Mr_Syndrome

Pour les leçons : 205, 206, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.

Marmiton

Une bonne solution pour les gens qui comme moi n’aiment pas les EDO mais ne souhaitent pas faire l’impasse sur la 221, ce dev ne demandant aucun prérequis en équation différentielle !

N’aimant pas ça, évidement si je dois faire une leçon dessus au final, je me restreindrait au cas réel, d’où le fait que je ne considère pas K un corps mais directement R (et je vois pas le soucis à faire ça franchement).

Cependant, si vous souhaitez une preuve avec K, mieux vaut faire un mélange du Bernis et du Berthelin.

Recasages : 205 et 221. Je n’ai jamais compris le recasage en 206, ni le rapport du jury. Il est où l’argument de dimension finie ici ? Oui il y a des conséquences de dimension finie à ce théorème, mais présenté ainsi il n’a aucunement sa place en développement dans la leçon. Pareil pour la 220, cette leçon est là pour illustrer la théorie des EDO, mais surtout cette leçon doit se focaliser sur le cas non linéaire comme le dit explicitement le rapport du jury. Comment on motive ce développement dans ces conditions ?

Elouan Renault

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement. Selon moi, ce dernier apporte une valeur ajoutée par rapport à la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz général, puisqu’on se passe du théorème du point fixe. De plus, le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire figure sur le programme du concours.