Développement : Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb R^d \to \mathbb R^d$ une application de classe $C^1$. On s'intéresse à l'équation différentielle autonome :
$$ x' = f(x) $$
Pour $\alpha \in \mathbb R^d$, on montre qu'il existe un seuil $T^* > 0$, tel que pour tout $0 < T < T^*$, il existe un voisinage $V$ de $\alpha$ tel que pour tout $x_0 \in V$, la solution maximale issue de $x_0$ est définie au moins sur $[-T, T]$ et que l'application qui à $x_0 \in V$ associe cette solution est de classe $C^1$. On obtient au passage l'expression explicite de sa différentielle en $x_0$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Un développement assez difficile, qui use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie, avec pour contre-partie un bon recasage, notamment dans les deux leçons d'équa diff, sans donner un ressenti trop "équa diff" (pas de lemme de Gronwall et autres joyeusetés). Ça justifie également de faire la leçon sur les donctions différentiables dans le cadre des espaces de Banach plutôt que dans R^n, si vous êtes emballé.e par ça !
    Comme le calcul diff, surtout en dimension infinie où on ne peut pas se reposer sur le calcul des dérivées partielles, peut-être un peu rebutant, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible, en faisant attention à mettre bien en valeur la nature des différents objets manipulés. En conséquence, le document est très long, mais à mon avis, tout ne peut pas être fait avec autant de détails en 15 minutes.
    J'ai ajouté une annexe à la fin où j'ai mis et démontré les propriétés utiles de la résolvante, qui peuvent servir selon le chemin de preuve choisi.
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 14 versions au total)
Calcul différentiel et équations différentielles, Sylvie Benzoni-Gavage (utilisée dans 4 versions au total)