Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je commence la préparation en choisissant Fourier, je fais 20mn de préparation, puis je choisi de changer puisque je me rendais compte que je ne voulais pas me prendre des questions sur le Tore, puis Stone-Weierstrass etc.. Puis je maitrisais pas à 100% bien mon plan et les résultats.
Donc je choisi de commencer le plan de la seconde leçon. Plan assez classique, une partie sur les
I) difféeomorphismes
II) TIL + appli
a) Enocnés des résultats (TIL+TIL C^k(mdr oui il faut remplir) + TI Global)
b) Application: aa) Changement de variables pour les intégrales
bb) Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie (Dev 1)
III) TFI + appli
TFI +ex du cercle + en rqe le cas C^k + une application à la determination de la tangente (au point où c’est OK) du Foliüm de Descarte
IV) Sous-variété de R^n
1. Généralité: Def, cas extrême, TH des sous-variété, ex: On, Sen
2. Plan tangent: Def, ev de dim même que la sous-variété, caractérisation par les submersion, ex (T_In(O_n)=An, T_In(SL_n)=matrice de trace nulle)
3. Extrema lié: bla bla bla
Dev 2: une implication du th des sous-variété (celle qui utilise le TIL histoire que ça justifie la leçon), puis quelques une des props pour extrema lié (et bien-sûr extrema lié).
Pour la préparation: coup de stress comme j’avais perdu 20mn, j’arrive à finir mon plan en 1H30-1h40, donc il me reste à peine 1h pour préparer les des: donc ça va comme je les connaissais bien.
Oral: Trois jury: 2hommes, 1femme
Je fais ma présentation de plan (en speedant sur la fin mdr).
Ils choisissent Extrema lié (youpiiiiiii). Je fais le développement en speedant sur le début par le stress, donc je le fini en 13mn (bruh), mais bon voilà.
Au début on me demande d’éclaircir le début de la preuve (comme j’étais aller un chouya vite), mais c’était pour être sur. Durant la preuve j’avais expliqué le pourquoi on passer la les vecteurs tangent, car le fait d’avoir un extrema lié nous permet pas d’avoir de condition sur l’extremum direct avec la différentiel, car on minimise pas nécessairement sur un ouvert, donc pas de condition d’Euler, mais bon ils m’ont demandé de ré-expliquer un peu ce truc là.
Après on m’a parlé de l’unicité des multipicateurs, je ne l’avais pas mis, et franchement je ne savais pas trop, le jury me dit "on les appelles LES multiplicateurs de Lagrange", donc bon je me suis dit ducoup ils sont unique, après j’ai supposé que c’était vrai, et je leur ai montré facilement.
Naturellement un membre du jury propose de l’appliquer, on me poser une fonction (je ne sais plus laquelle, dans mes souvenirs elle était continue, de R^2 dans R (coursive aussi? Mais bon en s’en fiche de ça).
Et on pose M=((x,y)in R^2: x^2+(y)^2/4 = 1)
Donc je dis que c’est un compact: on me dit: donné les arguments à l’oral, je dis fermé (ils ont l’air convaincu), puis borné, il me dise comment le justifier vous? J’essaie vite fait de bidouiller direct avec la norme infini, mais au final je pose ma norme préféré: N(x)=sqrt(x^2+y^2/4), la il me dise, oui c’est vrai (mdr), est-ce bien une norme: je leur dit on vérifie si vous voulez, je commence à écrire homogénéité, il me dise ok, disons que c’est une norme. Et la bon c’est clairement borné pour cette norme mdr (Le jury a dit « à oui la en effet c’est bien borné » ).
En suite je calcule mes gradients, je détermine les relations, j’avais écrit deux équations, on me dit: vous avez trois inconnu, deux équations, on voit mal comment on va pouvoir résoudre, je bafouille un peu en disant mmm peut-être aucune solution ou une infinité ?, puis mon me dit vous avez pas oublié une équation: oups j’ai oubli celle de M.
Bref, le jury m’aide un peu à trouver les candidats, je les trouve facilement. On me dit ok, comment vérifier vous lesquels sont bon, je leur ai dit, on check à la main, ils étaient convaincu.
Après on me dit: avez-vous bien appliqué votre théorème des extrema lié; j’ai fait oups j’ai oublié de montré que M était bien une sous-variété: donc je leur dit oui, la différentiel de la fonction qui définit notre sous-variété est une forme linéaire qui ne s’annule pas (alors que dans ma tête je pensais non nul), il me dise un « vous êtes sur » je leur air ré-expliquer en mode elle est non nul et la membre du jury m’a dit « attention qui ne s’annule pas et non nulle c’est pas pareil » j’ai fait oui oui désolé je me suis mal exprimé. Bref bien surjective, donc c’était good.
Ensuite on me demande de calculer le plan tangent en l’identité de On(R), je leur ait dit que c’ était dans mon plan, donc le jury qui m’a posé la question me dit, bah alors on va le faire pour toute matrice M\in Mn(R) !
Bon bah je ré-écrit la différentielle de ma submersion de tête, je fais une erreur la où il y a une transposé, le jury me le dit, je commence à la recalculer vite fait, mais il me dit, nan nan vous vous êtes juste trompé sur le sens de la transposé, je fait ah oui je corrige (comme c’était pas le but de l’exo c’est ok je pense), puis j’écrit l’équation du plan tangent et je trouve facilement les matrice du plan tangent, donc c’est OK.
Ensuite on me pose un exo, soit f:R\to R de classe C^1 tel que ||f|’|_infty<1
On pose f(x,y)=(x+f(y),y+f(x)). Déterminer les (x,y) tel que f est un diffeo local
Je leur dit on va calculer la jacobine et checker les hypothèses du TIL,
Je la calcule et oups comme d’hab je la transpose, le jury m’embêtèrent un peu avec et je corrige. Puis je calcul le det, et la on me dit avec quoi vous concluez: je leur dit on applique TIL a tout les points tel que le det est non nulle, puis on a ce qu’on veut, et "rapidement quelles sont ces points ?": puis je vois pas au début, puis rapidement avant la fin, je vois apparaitre la relation 1-lambda avec |lambda|<1, je leur fait ah oui comme |lambda|<1 c’est inversible, donc non nul, et ça se finit la.
