Développement : Théorème des extrema liés (par les sous-variétés)

Détails/Enoncé :

Il s'agit de montrer le théorème des extrema liés (ou des multiplicateurs de Lagrange) en utilisant le théorème de submersion des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ et la notion d'espace tangent.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Ce développement (et surtout la théorie derrière) est difficile et demande un gros investissement. Cela vaut le coup si on veut faire la leçon 214 correctement, et si on veut présenter ce développement en tenant compte de la remarque du jury qui n'aime pas trop la version matricielle de la démonstration.
    Il faut connaître la définition d'une sous-variété, les différentes caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe) et la notion d'espace tangent (voir ma remarque sur la leçon 214)

    Le gros problème de ce développement est que la référence indiquée est vieille et traite cette démonstration de façon fractionnée et expéditive... Je recommande donc de beaucoup le travailler de manière à le connaître par cœur.

    En fait, dans ce développement, on démontre plus que le théorème des extrema liés (au delà du lemme d'algèbre linéaire) : on montre en effet le fait que l'espace tangent en un point à une sous-variété est un espace vectoriel de dimension la dimension de la sous-variété, et on montre que c'est même le noyau de la différentielle de la submersion en le point en question.

    A la fin de l'année, j'avais tellement refait ce développement que je faisais tout tenir en 15 minutes, mais vous trouverez des conseils en bas de la page 2 pour le tronquer selon la leçon.

    Bon courage et n'hésitez pas à me contacter si vous avez des questions.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 21 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 18 versions au total)