Soit $f(x,\varepsilon) = (x-a)(b-x) + \varepsilon x^3$.
On donne un développement asymptotique des trois racines de f grâce au théorème des fonctions implicites et aux relations racines/coefficients.
On en déduit que :
$I(\varepsilon)=\displaystyle \int_{x_1(\varepsilon)}^{x_2(\varepsilon)} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{f(x,\varepsilon)}}=\pi+\frac{3\pi}{4}(a+b)\varepsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$