Développement : Théorème de Liapounov

Détails/Enoncé :

Soit le système différentiel
$$y^\prime = f(y), y(0)=x$$
avec $f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ et $f(0)=0$. Si la matrice $Df(0)$ a toutes ses valeurs propres strictement négative, l'origine est un point d'équilibre attractif du système différentiel : pour tout $x$ assez voisin de $0$, $y(t)$ tend vers $0$ exponentiellement quand $t \rightarrow \infty$.

Référence : Rouvière, p. 143 (énoncé), p. 138-143 (démonstration)

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    ATTENTION RECASAGES DIFFÉRENTS (voir sur le poly)
    J'ai suivi la preuve de Zuily-Queffélec sur les conseils d'un ami. Elle est assez différente de celle qui est présentée chez Berthellin ou Benzoni, et se recase notamment dans la leçon de connexité. Hélas, la référence est confuse et fort désagréable à lire (et l'argument de connexité n'y est pas clairement mis en valeur). J'ai essayé de faire mon possible pour être la plus claire possible, mais ça reste un déluge de paramètres qui dépendent les uns des autres et qu'il faut ajuster correctement. Attention à ne pas s'y perdre, ça demande un peu de préparation, mais la démonstration n'est pas si désagréable que ça à faire une fois qu'on s'y retrouve (même pour moi qui déteste les équa diffs !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 259 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 82 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 237 versions au total)