Leçon 220 : Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.

(2018) 220
(2020) 220

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension $1$ et $2$.) C’est l’occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s’alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu’un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou, plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d’état. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d’équations différentielles non linéaires. Le lemme de Grönwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est trop rarement énoncé. L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d’équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase alors que le sujet y invite clairement. Il est possible d’évoquer les problématiques de l’approximation numérique dans cette leçon en présentant le point de vue du schéma d’Euler . On peut aller jusqu’à aborder la notion de problèmes raides et la conception de schémas implicites pour autant que le candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.

(2016 : 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'études des solutions en dimension $1$ et $2$.) C’est l’occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s’alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu’un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d’espace. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d’équations différentielles non linéaires. Le lemme de Grönwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d’équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase alors que le sujet y invite clairement. Pour aller plus loin, il est possible d’évoquer les problématiques de l’approximation numérique dans cette leçon en présentant le point de vue du schéma d’Euler. On peut aller jusqu’à aborder la notion de problèmes raides et la conception de schémas implicites pour autant que le candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.
(2015 : 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'études des solutions en dimension $1$ et $2$.) C'est l'occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s'alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu'un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d'espace. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d'équations différentielles non linéaires. Le lemme de Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en oeuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d'équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase. Enfin, il n'est pas malvenu d'évoquer les problématiques de l'approximation numérique dans cette leçon par exemple autour de la notion de problèmes raides et de la conception de schémas implicites pour autant que la candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.
(2014 : 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'études des solutions en dimension $1$ et $2$.) C'est l'occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s'alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. La notion même de solution maximale d'un problème de Cauchy est trop souvent mal comprise. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu'un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variables de temps et d'espace. La notion de solution maximale et le théorème de sorties de tout compact sont nécessaires. Le lemme de Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en oeuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d'équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase. Enfin, il n'est pas malvenu d'évoquer les problèmatiques de l'approximation numérique dans cette leçon par exemple autour de la notion de problèmes raides et de la conception de schémas implicites pour autant que la candidat ait une matrîse convenable de ces questions.

Plans/remarques :

2019 : Leçon 220 - Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.


2017 : Leçon 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension $1$ et $2$.


2016 : Leçon 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'études des solutions en dimension $1$ et $2$.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 220 - Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.

  • Leçon choisie :

    220 : Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Cauchy-Lipschitz global

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur Cauchy Lipschitz : 1. Comment on justifie que la norme d'une intégrale est inférieure ou égale à l'intégrale de la norme
    2. A quel moment j'ai utilisé le fait que je me mettais sur un compact au début (pour que notre espace soit complet et que l'on puisse utiliser le théorème de point fixe)
    Questions sur le plan : 1. Dans la version localement lipschitzien, à quoi sert le lemme de Gronwall (pour montrer l'unicité)
    2. Des exercices où il fallait résoudre des équations différentielles, un premier avec une équation d'ordre 2 qu'il fallait ramener à une équation d'ordre 1,
    un second avec une équation autonome (etude des solutions constantes + CL pour dire que les solutions ne peuvent pas se croiser + application du théorème de sortie de tout compact pour dire que les solutions entre les solutions constantes sont globales + etude du signe de f pour donne la croissance/décroissance de la solution),
    et le dernier il fallait résoudre y'=sin(y), que j'avais mis en exemple de solution globale parce que sin est borné

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très gentil, ils ne m'ont posé aucune question piège ou qui n'avait pas de rapport avec la leçon et qui auraient pu être perturbantes

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai assez mal géré mon temps pendant mon développement, donc je n'ai fait que Cauchy Lipschitz au lieu de rajouter la démonstration du théorème de point fixe, comme je ne l'avais pas annoncé au début, le jury n'a rien su. Mais je pense que j'ai fait l'erreur de relire mes développements dans le livre au lieu de directement les écrire. En relisant sur le livre et pas sur mes feuilles de révision, j'avais l'impression de redécouvrir les développements et c'était très déstabilisant. Il vaut mieux les faire au brouillon de tête, et ensuite boucher les trous et vérifier que l'on a rien oublier après, en comparant avec le livre.

  • Note obtenue :

    14


2017 : Leçon 220 - Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension $1$ et $2$.

  • Leçon choisie :

    220 : Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension $1$ et $2$.

  • Autre leçon :

    209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Cauchy-Lipschitz local

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Retour d'abord sur le développement (sur lequel j'étais bien content d'être tombé parce que Liapounov ...) où j'ai écrit un peu n'importe quoi au niveau des indices de la récurrence (j'ai vite corrigé), ils m'ont demandés d'essayer de généraliser l'énoncé pour juste des fonctions continues, si on avait toujours le résultat pour des fonction C1 (inégalité des accroissement finis), et ce qu'on pouvait dire si la fonction était globalement lipschitzienne (solutions maximales).

    -Ensuite retour sur le plan où ils m'ont demandés de justifier mes graphique de solutions, ils m'ont aussi parlés de portrait de phase (j'étais pas au point la dessus). J'ai du justifié un ou deux autres points de mon plan (notamment un comportement aux bords) puis ils m'ont donnés un exercice où je devais parler des solutions d'une équation d'ordre 2 (je n'avais donné que des exemples d'ordre 1 dans mon plan).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury légèrement moins souriant que la veille (pourtant il faisait moins chaud ^^) mais jamais méchant et toujours enclin à vous aider dès que vous n'y arrivez plus.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les surveillants étaient un peu plus réactifs que la veille pour la préparation, sinon toujours 3h10 entre le tirage du sujet (et son ouverture) et la fin de la préparation.

  • Note obtenue :

    7.75