Développement : Lemme de Gronwall et une application [no pdf]

Détails/Enoncé :

$\underline{Lemme}$ : (Gronwall intégral) Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $t_0 \in I$, $a\in \mathbb{R}$ et $u,v \in \mathcal{C}(I,\mathbb{R})$. Si $v\ge 0$ et pour tout $t\in I$ tel que $t\ge t_0$ : $u(t)\le a +\int \limits_{t_0}^{t} v(s)u(s) \mathrm{d}s$ alors pour tout $t\in I$ tel que $t\ge t_0$, $u(t)\le a\exp(\int \limits_{t_0}^{t}v(s)\mathrm{d}s)$.

$\underline{Application}$ : Soit $]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Soit $f : ]a,b[\times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ continue et localement lipschitzienne par rapport à la variable d'état. On suppose qu'il existe deux fonctions positives $C_1$ et $C_2$ définies sur $]a,b[$ telle que pour tout $(t,y)\in ]a,b[\times \mathbb{R}^N$ : $\Vert f(t,y) \Vert \le C_1(t) \Vert y \Vert + C_2(t)$. Alors toute solution maximale de $y'=f(t,y)$ est globale.

Ref : Demailly ou Berthelin.

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