Développement : Théorème de comparaison de Sturm

Détails/Enoncé :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$. On considère les équations différentielles
$$\left( a(t)x'\right)' +r(t)x = 0 \quad \quad \left( b(t)y'\right)' +s(t)y = 0 $$
avec $a,b$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $I$, et $r,s$ continues. On suppose que $r\leq s$ et que $0 < b\leq a$. Considérons $x$ et $y$ deux solutions non nulles. Supposons donnés $t_1 < t_2$ deux zéros consécutifs de $x$. Si $x$ et $y$ ne sont pas proportionnelles sur $]t_1,t_2[$, alors $y$ admet au moins un zéro dans $]t_1,t_2[$.


On peut accompagner ce théorème de quelques applications. En voici une. Soit $y$ une solution non nulle de $$y'' + ty = 0$$ Alors $y$ a au plus un zéro sur $\mathbb R_-$, et une infinité de zéros sur $\mathbb R_+$. Si $a_n$ est le nombre de zéros de $y$ sur $[0,n]$, alors
$$a_n \sim \frac{2}{3\pi}n^{3/2}$$
Ce dernier point concerne en fait la fonction d'Airy. On peut essayer de présenter ça dans la leçon sur les fonctions spéciales.

Recasages pour l'année 2024 :

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Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 36 versions au total)