Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire

Le développement ne se trouve que dans la seconde édition de l'ouvrage.

Principe d'incertitude suédois

Seulement disponible dans la seconde édition de l'ouvrage.

Suite des Arctan itérés

Ce développement a l'avantage de ne pas être le sempiternel "sinus itérés" qui épuise le jury... Son gros désavantage est d'être introuvable en tant que tel dans une référence... Par contre, le Bernis propose un développement concernant une "méthode générale" pour étudier une suite récurrente lorsque la fonction $f$ vérifie certaines conditions et possède un développement limité d'une certaine forme, ce qui est le cas de la fonction Arctan. Il s'agit donc juste d'appliquer cette méthode dans ce cadre particulier.
Le développement n'est donc pas très difficile une fois qu'on a bien compris la méthode (se concentrer sur l'heuristique : pourquoi calcule-t-on cela ? Analogie discret-continu...) mais est très calculatoire ! Il faut donc s'entraîner beaucoup de fois, et apprendre par cœur le résultat (qui finit par rentrer à force de le refaire)

Théorème de Bernstein-Valiron

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Théorème de Kantorovich et algorithme du gradient à pas optimal

Gradient à pas optimal pour les systèmes linéaires.

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Nombres de Bell

Pour les leçons : 190, 241, 243

Intégrale de Dirichlet

Je fais 3 démonstrations de la valeur de cette intégrale (Fubini, analyse complexe, transformée de Laplace), à choisir en fonction de la leçon présentée.
Pour les leçons : 228, 235, 236, 239.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pour les leçons : 205, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.

Théorème central limite

Pour les leçons : 218, 250, 261, 262, 266.

Espace de Bergman du disque unité

Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Il rentre dans de nombreuses leçons, mais ce sont des leçons où j'avais déjà beaucoup de développements. Donc ce n'était peut-être pas un choix si judicieux que ça.

Nombres de Bell

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement. Je recommande ce développement.

Théorème central limite

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème central limite figure sur le programme du concours. En revanche, ce développement est un peu court. Il faudrait peut-être ajouter une application. Je vous laisse y réfléchir (désolé, je n'aime pas les probabilités).

Théorème d'Ascoli

Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Je vous le recommande si vous appréciez la topologie et l'analyse fonctionnelle. De plus, le théorème d'Ascoli figure sur le programme du concours.

Théorème d'Hadamard Levy

Développement à la fois trop technique et trop long pour mon niveau. J'avais voulu le remplacer par d'autres développements mais je n'avais pas pu, faute de temps. Je vous le déconseille si vous souhaitez uniquement être admis au concours (sans objectif de classement).

Fonction de Van der Waerden

Ne pas lésiner sur les dessins. Bien plus intuitive que la fonction de Weierstrass donc accentuer dessus.

Suite des Arctan itérés

- Équivalent asymptotique d'une suite récurrente "générale" ;
- Application à la suite $u_{n+1} = \arctan(u_n)$, et précision du comportement asymptotique.

Leçons concernées : 223, 224, 226, 230

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement particulièrement intéressant pour les candidats préparant l’option B. J’en présente deux versions. Les couplages diffèrent légèrement d’une version à l’autre, et la justification de certains d’entre eux s’appuie sur les items traités dans mes leçons.

Pour l’algorithme « général », c’est-à-dire dans le cadre d’une fonction $\mathrm{C}^1$ et $\alpha$-convexe, j’utilise la version de Francinou et al., ainsi que l’application associée à la fonctionnelle quadratique, à traiter si le temps le permet. Le recasage proposé est alors le suivant : 219, 229, 215, 253, 223, 226 et 206, cette dernière leçon demandant toutefois une défense plus spécifique.

Pour l’algorithme associé à la fonctionnelle quadratique, accompagné de l’inégalité de Kantorovitch, je présente la version de Bernis et Bernis, que l’on peut recaser dans les leçons 157 et 162.

Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 18.75).
Même si mes deux développements concernent le TCL, je ne pense pas que cela pose un problème car leurs démonstrations n'ont rien à voir.
Les lemmes de Borel-Cantelli ne sont pas indispensables, il ne faut en parler que si l'on est vraiment à l'aise dessus.
Si l'on choisit cette leçon, il faut être au point sur les différents modes de convergence car vous aurez forcément des questions qui utilisent l'indépendance et la convergence de variables aléatoires.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.