Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition

Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire

Développement :
Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire
Remarque :
Le développement ne se trouve que dans la seconde édition de l'ouvrage.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Suite de Fibonacci aléatoire.pdf

Principe d'incertitude suédois

Développement :
Principe d'incertitude suédois
Remarque :
Seulement disponible dans la seconde édition de l'ouvrage.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Principe d'incertitude suédois.pdf

Suite des Arctan itérés

Développement :
Suite des Arctan itérés
Remarque :
Ce développement a l'avantage de ne pas être le sempiternel "sinus itérés" qui épuise le jury... Son gros désavantage est d'être introuvable en tant que tel dans une référence... Par contre, le Bernis propose un développement concernant une "méthode générale" pour étudier une suite récurrente lorsque la fonction $f$ vérifie certaines conditions et possède un développement limité d'une certaine forme, ce qui est le cas de la fonction Arctan. Il s'agit donc juste d'appliquer cette méthode dans ce cadre particulier.
Le développement n'est donc pas très difficile une fois qu'on a bien compris la méthode (se concentrer sur l'heuristique : pourquoi calcule-t-on cela ? Analogie discret-continu...) mais est très calculatoire ! Il faut donc s'entraîner beaucoup de fois, et apprendre par cœur le résultat (qui finit par rentrer à force de le refaire)
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Arctan itérés.pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Remarque :
Je fais 3 démonstrations de la valeur de cette intégrale (Fubini, analyse complexe, transformée de Laplace), à choisir en fonction de la leçon présentée.
Pour les leçons : 228, 235, 236, 239.
Références :
Fichier :
- Integrale de Dirichlet.pdf

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Remarque :
Pour les leçons : 205, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.
Références :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Cauchy_Lipschitz lineaire.pdf

Théorème central limite

Développement :
Théorème central limite
Remarque :
Pour les leçons : 218, 250, 261, 262, 266.
Références :
Fichier :
- Theoreme central limite.pdf

Espace de Bergman du disque unité

Développement :
Espace de Bergman du disque unité
Remarque :
Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Il rentre dans de nombreuses leçons, mais ce sont des leçons où j'avais déjà beaucoup de développements. Donc ce n'était peut-être pas un choix si judicieux que ça.
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Développements.pdf

Nombres de Bell

Développement :
Nombres de Bell
Remarque :
Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement. Je recommande ce développement.
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Développements.pdf

Théorème central limite

Développement :
Théorème central limite
Remarque :
Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème central limite figure sur le programme du concours. En revanche, ce développement est un peu court. Il faudrait peut-être ajouter une application. Je vous laisse y réfléchir (désolé, je n'aime pas les probabilités).
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Développements.pdf

Théorème d'Ascoli

Développement :
Théorème d'Ascoli
Remarque :
Développement long et très technique, nécessitant de nombreux prérequis. Malgré cela, il s'agit d'un de mes développements favoris. Je vous le recommande si vous appréciez la topologie et l'analyse fonctionnelle. De plus, le théorème d'Ascoli figure sur le programme du concours.
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Développements.pdf

Théorème d'Hadamard Levy

Développement :
Théorème d'Hadamard Levy
Remarque :
Développement à la fois trop technique et trop long pour mon niveau. J'avais voulu le remplacer par d'autres développements mais je n'avais pas pu, faute de temps. Je vous le déconseille si vous souhaitez uniquement être admis au concours (sans objectif de classement).
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Développements.pdf

Fonction de Van der Waerden

Développement :
Fonction de Van der Waerden
Remarque :
Ne pas lésiner sur les dessins. Bien plus intuitive que la fonction de Weierstrass donc accentuer dessus.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis

Suite des Arctan itérés

Développement :
Suite des Arctan itérés
Remarque :
- Équivalent asymptotique d'une suite récurrente "générale" ;
- Application à la suite $u_{n+1} = \arctan(u_n)$, et précision du comportement asymptotique.

Leçons concernées : 223, 224, 226, 230
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Comportement suite récurrente

Théorème d'Ascoli

Développement :
Théorème d'Ascoli
Remarque :
Je le montre pour une sous partie A de C(K,F) où K est compact et F est complet.
A est alors relativement compacte ssi A est équicontinue et les A(x)=\overline{ {f(x) | f \in A} } sont relativement compacts.

Le Rombaldi a ce cas métrique mais j'ai fait un peu différemment par moment, en particulier, je montre Heine équicontinu à partir de Heine continu appliqué à une fonction d'évaluation globale de K dans C(A,F).

Pour la 208, on fait avec des normes infinies, Banach au lieu de complet, etc ... Mais ça ne change rien.
Références :
Fichier :
- Ascoli.pdf

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- dev 20_Cauchy-Lipschitz_linéaire.pdf

Etude de suites définies par récurrence

Développement :
Etude de suites définies par récurrence
Remarque :
Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
Fichier :
- Suite_définies_par_récurrence.pdf

266 : Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Leçon :
Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.
Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 18.75).
Même si mes deux développements concernent le TCL, je ne pense pas que cela pose un problème car leurs démonstrations n'ont rien à voir.
Les lemmes de Borel-Cantelli ne sont pas indispensables, il ne faut en parler que si l'on est vraiment à l'aise dessus.
Si l'on choisit cette leçon, il faut être au point sur les différents modes de convergence car vous aurez forcément des questions qui utilisent l'indépendance et la convergence de variables aléatoires.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
Références :
Fichier :
- 266.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Remarque :
Là aussi j'adore cette leçon. Je suis aussi passé dessus pendant l'année le plan, a été validé. Il y a deux choses que je voudrais changer dans ce plan : la première c'est qu'il manque le calcul des coefficients de la dérivée et la deuxième je supprimerais la proposition 19.

ref qui ne sont pas sur agreg-maths :

SCH IV : Laurent Schwartz Analyse Tome 4
CHAM : Antoine chamberloir, théorie du signal

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.
Références :
Fichier :
- leçon246.pdf

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Leçon :
Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Remarque :
Au final j'ai changé mon deuxième développement, j'ai recasé ma marche aléatoire dans la partie probas.
Mon plan est classique j'ai suivi ce que dit le rapport. Presque tout est dans le El Amrani.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.
Références :
Fichier :
- leçon243.pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Leçon :
Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples
Remarque :
Plan hyper classique ; beaucoup de similitudes avec les intégrales à paramètres en rajoutant simplement la convergence uniforme.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.
Références :
Fichier :
- leçon241.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_201.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_203.pdf

204 : Connexité. Exemples d’applications.

Leçon :
Connexité. Exemples d’applications.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_204.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_205.pdf

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_221.pdf

223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

Leçon :
Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_223.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.
Références :
Fichier :
- Méta_plan_226.pdf

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon :
Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
Remarque :
Plan réalisé avec la collaboration d'Emma et relu par un professeur. Vous trouverez également ma défense de plan.
Références :

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

Leçon :
Formules de Taylor. Exemples et applications.
Remarque :
Plan réalisée par Lilian.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.
Références :
Fichiers :

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Je suis passée en leçon devant un prof dessus, voici un méta plan adapté après son retour.

I/ Suites récurrentes [GOU]
1. Généralités
2. Cas particuliers

II/ Points fixes et attraction
1. Propriétés [ROU]
2. Comportement lent à l'infini [BER]
(DEV 1 : Suites définies par récurrence, Bernis et Bernis)

III/ Méthode numériques
(DEV 2 : Méthode de Newton, Rouvière)
Références :
Fichier :
- Leçon_226___uites_vectorielles_et_réelles_définies_par_une_relation_de_récurrence___Exemples__Applications_à_la_résolution_approchée_d_équations_-1.pdf

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition

Utilisée dans les 14 développements suivants :

Utilisée dans les 13 leçons suivantes :

Utilisée dans les 20 versions de développements suivants :

Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire

Principe d'incertitude suédois

Suite des Arctan itérés

Théorème de Bernstein-Valiron

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorème de Kantorovich et algorithme du gradient à pas optimal

Nombres de Bell

Intégrale de Dirichlet

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorème central limite

Espace de Bergman du disque unité

Nombres de Bell

Théorème central limite

Théorème d'Ascoli

Théorème d'Hadamard Levy

Fonction de Van der Waerden

Suite des Arctan itérés

Théorème d'Ascoli

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Etude de suites définies par récurrence

Utilisée dans les 14 versions de leçons suivantes :

266 : Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

204 : Connexité. Exemples d’applications.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.