Développement : Suite des Arctan itérés

Détails/Enoncé :

Il s'agit d'étudier la suite définie comme suit :
$$\begin{cases}
u_0 \in ]0;1]\\
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\text{Arctan}(u_n)
\end{cases}$$
On montre rapidement qu'elle converge vers 0, puis on en détermine un équivalent et un développement asymptotique.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Ce développement a l'avantage de ne pas être le sempiternel "sinus itérés" qui épuise le jury... Son gros désavantage est d'être introuvable en tant que tel dans une référence... Par contre, le Bernis propose un développement concernant une "méthode générale" pour étudier une suite récurrente lorsque la fonction $f$ vérifie certaines conditions et possède un développement limité d'une certaine forme, ce qui est le cas de la fonction Arctan. Il s'agit donc juste d'appliquer cette méthode dans ce cadre particulier.
    Le développement n'est donc pas très difficile une fois qu'on a bien compris la méthode (se concentrer sur l'heuristique : pourquoi calcule-t-on cela ? Analogie discret-continu...) mais est très calculatoire ! Il faut donc s'entraîner beaucoup de fois, et apprendre par cœur le résultat (qui finit par rentrer à force de le refaire)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 3 versions au total)