Référence : Modélisation à l'oral de l'agrégation

Développement :
Méthode de Newton
Références :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
Fichier :
- newton_methode.pdf

Développement :
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Remarque :
La plus grosse partie de la preuve consiste à créer une bonne norme d'opérateur, ce qui se fait en trigonalisant $A$.
Référence :
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
Fichier :
- 33 - Méthode itérative de résolution d'un système linéaire.pdf

Développement :
Un algorithme de programmation dynamique pour les polynômes d'interpolation de Lagrange
Remarque :
La preuve de la relation de récurrence sert aussi de preuve de correction de l'algorithme, ce qui justifie le recasage dans la leçon 927, car les preuves de correction des algorithmes dynamiques sont particulières : elles interviennent avant même l'écriture de l'algorithme, car cette preuve revient à prouver la relation de récurrence sur laquelle repose l'algorithme.
Référence :
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
Fichier :
- Lagrange.pdf

Développement :
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Remarque :
Il faut savoir démontrer l'expression de la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice A:
|||A|||∞=max1≤i≤n (∑1≤j≤n ∣Aij∣)
Références :
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet

Développement :
Méthode de Newton
Remarque :
Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc.
Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas.

Côté recasages à mon avis:
Suites numériques
Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
Formules de Taylor

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Références :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
Fichier :
- methode_de_newton.pdf

Développement :
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Remarque :
Un développement sympathique. Ma version est vraiment très courte à l'écrit, mais en donnant quelques compléments à l'oral, ça remplissait bien le temps imparti. Le début est exactement le même que la preuve du lemme dans le dev Topologie des classes de similitude. Le lemme constitue un résultat pour le moins inhabituel sur le rayon spectral et les normes d'opérateur. Tellement inhabituel que je trouve qu'il est vraiment intéressant de présenter ce développement dans la leçon sur les valeurs propres. On peut aller bien plus loin, en présentant des exemples de méthodes itératives calquées sur ce schéma, comme Gauss-Seidel ou Jacobi. Mais pour moi, pauvre option A, c'était prendre trop de risques : je préférais garder ces noms savants sous la pédale en cas de question gênante... Plus trop sûr de la référence. Côté recasage à mon avis:

Valeurs propres et vecteurs propres
Systèmes linéaires

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Référence :
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
Fichier :
- methode_iterative.pdf

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Méta plan (simple mais qui a bien marché):

I) Notion d'échelonnement: matrices élémentaires (transvection, permutation, dilatation), matrices échelonnées et comment les obtenir grâce aux matrices élémentaires (cet algorithme est appelé le pivot de Gauss), application aux systèmes linéaires (définition, rang, système de Cramer, ensemble de solutions, exemple de résolution). Problème de la formule de Cramer: le nombre d'opérations en n!. D'où le besoin d'autres méthodes:
[Ref: tout livre de MPSI/L1, j'ai utilisé le R. Mansuy MPSI chez Vuibert]

II) Méthodes directes de résolution
Pivot de Gauss (échelonnement en lignes) avec ou sans changement de pivot (différences et conséquences numériques), décomposition LU et complexité (DEV 1)
[Ref: Dumas et Caldero/Peronnier]

III) Méthodes itératives de résolution
Définition d'une méthode itérative, définition des méthodes de splitting (A=M-N), condition nécessaire et suffisante de convergence de ces méthodes (DEV 2), exemples (Jacobi, Gauss-Seidel)
[Ref: Dumas et Ciarlet]
Références :

Modélisation à l'oral de l'agrégation