Développement : Étude d'une suite de variables aléatoires suivants des lois de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson $\lambda_n$. Alors :

1) Soit $Y_n=\prod_{i=1}^n X_i$, $p=\prod_{i=1}^\infty (1-e^{-\lambda_n})$. Alors $(Y_n)_n$ converge vers 0 avec une proba de 1-p. Converge vers $+\infty$ avec une proba de p. Exemples pour $\lambda_n=o(\ln(n))$ et $\lambda_n=2\ln(1+n)$

2) Si $\sum_k \lambda_n^k$ converge, alors $\overline{\lim}X_n = k-1$ ps. Application aux études des valeurs d'adhérences de $X_n$ si $\lambda_n=\frac{1}{n^\alpha}$, $\alpha >0$

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 82 versions au total)