Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Je suis parti de la version du Carréga, et j'ai ensuite réadapté quelques trucs à ma sauce (principalement la preuve de la cyclicité de Aut(K)).

Étude d'une suite de variables aléatoires suivants des lois de Poisson

Développement original que j'ai fabriqué en regroupant deux exercices du Kurtzman. Je justifie les recasages par :
Suites numériques : On utilise les lim sup des suites pour déterminer un ensemble de valeurs d'adhérences.
Séries numériques : On utilise à plusieurs reprises Borel Cantelli
Et en proba :
Loi : On travaille autour de la loi de Poisson
Convergence : Tout le dév porte sur la convergence de suites de variables aléatoires. On illustre l'importance de Borel Cantelli pour déterminer des convergences presques sûres.
Variables aléatoires discrètes : On n'étudie que des variables aléatoires discrètes
Indépendance : On utilise à plusieurs reprises le second lemme de Borel Cantelli, qui nécessite l'indépendance.

Je recommande ce développement rigolo :)

Formule d'inversion de Fourier dans L1

Pas de réf pour le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne, mais ça se fait bien de tête.

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques

Pas marrant mais se fait bien

Algorithme de Berlekamp

122,123,141,142,148 selon moi. Un de mes développements préférés pour le fait qu'on navigue entre théorie des anneaux, théorie des corps, et algèbre linéaire.

Questions qu'on m'a posé sur ce développement :
- En terme de réduction, en quoi consiste l'algorithme ? (On étudie la multiplicité géométrique de la valeur propre 1 de Frob^n)
- Appliquer l'algorithme à X^4+1 sur F_p, p premier plus grand que 3 (X^4 congrue à -1 (mod p), étudier les cas p congru à 1 mod 4, et p congru à 3 mod 4)

SO₃(R) et les quaternions

Un de mes développement préféré

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Fait aussi un très bon recasage dans la leçon nombres premiers, si l'on souhaite faire une partie sur les groupes.

Pour la preuve que le nombres de p-sylow est congru à 1 modulo p, je me suis écarté de la preuve du Perrin, en passant plutôt par les normalisateurs et en utilisant de manière élégante que deux p-sylow du normalisateur sont congugués entre eux, puisqu'on montre juste avant que les p-sylow sont conjugués entre eux.

En oral blanc, on m'a demandé de déterminer tous les p-sylow de GL_n(Fp)... préparez vous à cette question. Il est essentiel de connaître la preuve de Cayley, ainsi que les groupes de permutations plongent dans GL_n(K).

Ellipsoïde de John Loewner

Formes de Hankel

Excellent développement qui se recase à merveille dans des leçons compliquées : racines de polynômes et polynômes symétriques, dualité, et formes quadratiques.

Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)

Je propose en bonus de déterminer le cardinal de SL_2(Z/nZ), qui permet de justifier un recasage dans les leçons Anneaux principaux et Z/nZ, car on utilise le théorème chinois.

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Il faut savoir justifier pourquoi on se place sur un corps de caractéristique nulle, et à quels endroits la preuve se casse si l'on n'est pas en caractéristique nulle.

Méthode de Laplace

Je rajoute comme application la preuve de Stirling généralisée sur R+^* (Gamma(x+1))

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Je suis passé dessus le jour J. Je n'ai pas fait la partie sur les intégrales impropres.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Je suis passé dessus le jour J. Savoir justifier l'exemple 25 (j'avais mis $M \mapsto AMB$ à la place, mais c'est la même idée)

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

Exponentielle de matrices. Applications.

Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.