Développement : Version faible du théorème de Schur

Détails/Enoncé :

Référence : Dugardin, Rezzouk p.69

Soit $\mathcal{A} = \lbrace a_1,\dots, a_l \rbrace$ un ensemble d'entiers naturels non nuls, premiers dans leur ensemble. On considère des variables aléatoires $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ indépendantes, de même loi, à valeurs dans $\mathcal{A}$ et on suppose de plus $\mathbb{P}(X_1 = a_i) > 0$ pour tout $i \in [\![1;l]\!] $. Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on pose $g(z)=\mathbb{E}(z^{X_1})$.

1) Montrer que l'application $z\longmapsto 1 - g(z)$ est un polynôme qui n'a pas de racines complexes de module $\leq 1$ autre que la valeur réelle $1$.

2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $A_n = \lbrace N \in \mathbb{N}^*, \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} X_k = n \rbrace$. Montrer que
$$
\mathbb{P}(A_n) = \sum^{+ \infty}_{k=1} \mathbb{P} \left\lbrace \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} X_k = n \right\rbrace
$$

3) Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $\vert z \vert < 1$, la série $\underset{k \geq 1}{\sum} \mathbb{P}(A_n)z^n$ converge et exprimer sa somme en fonction de $g$.

4) En étudiant les coefficients du développement en série entière de la fraction rationnelle $\frac{1}{1-g(z)}$ pour tout $\vert z \vert <1$, montrer que
$$
\lim_{n \leftarrow + \infty} \mathbb{P}(A_n) = \frac{1}{\mathbb{E}(X_1)}
$$

5) Étant donné $\mathcal{A} = \lbrace a_1,\dots, a_l \rbrace$ un ensemble d'entiers naturels non nuls, premiers dans leur ensemble, montrer qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que tout entier $n \geq n_0$ est combinaison à coefficients entiers naturels des entiers $a_i$.

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