(2022 : 261 - Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.)
Cette leçon concerne bien entendu les diverses lois du programme, leurs interactions et leurs propriétés de stabilité, et appelle donc des illustrations concrètes. Le théorème de transfert, qui calcule $E(f(X))$ à l'aide de la loi de X, les vecteurs aléatoires à coordonnées indépendantes, ainsi que la caractérisation de la loi par la fonction génératrice ou caractéristique, sont au coeur de cette leçon. Les candidats pourront également aborder la convergence en loi en l'illustrant d'exemples variés.
Les candidats aguerris pourront aborder le problème de la caractérisation de la loi par les moments, les vecteurs gaussiens, le théorème central limite dans $R^d$, les chaînes de Markov, les processus de Poisson.
(2019 : 261 - Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.)
Cette leçon est l’occasion de présenter clairement la notion de loi d’une variable aléatoire et de l’illustrer par de nombreux exemples et calculs. On distinguera bien la probabilité $P$ sur $\Omega$ de la probabilité $\mu_X$ définie sur l’ensemble des valeurs de $X$ par $\mu_X(A) = P(X \in A) = P(X^{-1}(A))$. Le théorème de transfert qui calcule $E[f(X)]$ peut alors être donné comme une extension fonctionnelle de cette définition ensembliste. Inversement, on peut s’intéresser à des classes $C$ de fonctions telles que la connaissance de $E[f(X)]$ pour $f \in C$ détermine la loi de $X$. Ceci mène aux outils usuels de caractérisation de la loi (fonction de répartition, fonction caractéristique, densité éventuelle, mais aussi la fonction génératrice pour des variables entières ou la transformée de Laplace de variables positives, ou encore les moments lorsque cela est pertinent). Les principales propriétés des fonctions de répartition des variables réelles doivent être connues. Il est important de savoir qu’il y a une bijection entre les lois sur $\textbf{R}$ et les fonctions croissantes continues à droite tendant vers 0 en ́$-\infty$ et vers 1 en $+\infty$. Il faut savoir interpréter les sauts d’une fonction de répartition, et, lorsque la fonction de répartition est $C^1$, savoir que la variable admet alors une densité qui est la dérivée de la fonction de répartition. Le jury s’attend à ce que le candidat puisse tracer la fonction de répartition de lois simples. Les principales propriétés des fonctions caractéristiques doivent être également connues : continuité, limite à l’infini, régularité plus forte en fonction de l’existence de moments. Des résultats analogues (et plus élémentaires) portant sur les fonctions génératrices de variables entières ou les transformées de Laplace de variables positives ont également toute leur place ici. La caractérisation de l’indépendance de $n$ variables en termes de produit de lois entre dans le cadre de cette leçon. Les variables aléatoires à valeurs vectorielles (en restant dans le cadre de la dimension finie) font aussi partie de la leçon et on évoquera la loi conjointe et les lois marginales. La notion d’indépendance pourra alors être décrite. Cette leçon devra être illustrée par de nombreux exemples de calculs de lois : présentation de lois usuelles en lien avec ce qu’elles modélisent, calculs de fonctions caractéristiques ou de densités selon pertinence, loi de $\Phi(X)$ à partir de la loi de $X$, loi de $max(X_1,...,X_n)$, $min(X_1,...,X_n)$, $X_1+...+X_n$, etc.
(2017 : 261 - Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Exemples et applications.)
Les candidats pourront présenter l’utilisation de la fonction caractéristique pour le calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes et faire le lien entre la régularité de la fonction caractéristique et l’existence de moments. Le candidat doit être en mesure de calculer la fonction caractéristique des lois usuelles. Les liens entre la fonction caractéristique et la transformée de Fourier sont des attendus du jury. Le jury attend l’énoncé du théorème de Lévy, que les candidats en comprennent la portée, et son utilisation dans la démonstration du théorème central limite.
Pour aller plus loin, des applications pertinentes de ces résultats seront les bienvenues. Enfin, la transformée de
Laplace pourra être utilisée pour établir des inégalités de grandes déviations.
(2016 : 261 - Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications. )
Les candidats pourront présenter l’utilisation de la fonction caractéristique pour le calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes et faire le lien entre la régularité de la fonction caractéristique et l’existence de moments. Le candidat doit être en mesure de calculer la fonction caractéristique des lois usuelles. Le jury attend l’énoncé du théorème de Lévy, que les candidats en comprennent la portée, et son utilisation dans la démonstration du théorème central limite.
Pour aller plus loin, des applications pertinentes de ces résultats seront les bienvenues. Enfin, la transformée de Laplace pourra être utilisée pour établir des inégalités de grandes déviations.
(2015 : 261 - Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.)
Le jury attend l'énoncé du théorème de Lévy et son utilisation dans la démonstration du théorème central limite.
Les candidats pourront présenter l'utilisation de la fonction caractéristique pour le calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes et faire le lien entre la régularité de la fonction caractéristique et l'existence de moments.
Enfin la transformée de Laplace pourra être utilisée pour établir des inégalités de grandes déviations.
(2014 : 261 - Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.)
Le jury attend l'énoncé de théorème de Lévy et son utilisation dans la démonstration du théorème limite central.
Les candidats pourront présenter l'utilisation de la fonction caractéristique pour le calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes et faire le lien entre la régularité de la fonction caractéristique et l'existence de moments.
Enfin la transformée de Laplace pourra être utilisée pour établir des inégalités de grandes déviations.
