Développement : Théorème des moments

Détails/Enoncé :

En notant P l'ensemble des lois de probabilité sur R pour lesquelles les polynômes sont intégrables, il s'agit de montrer que certaines lois de P sont caractérisées par leurs moments (la loi mu dans P est caractérisée par ses moments si pour toute loi nu dans P, si nu a les mêmes moments que mu alors nu est égale à mu). C'est le cas de la loi normale et de la loi bêta par exemple.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Dans cette version, j'ai choisi un chemin de preuve assez différent de celui de Clémentine. En définitive, je démontre quelque chose de strictement moins fort sur le plan des probabilités, mais qui a de meilleurs recasages dans les leçons qui sont au programme cette année (voir sur le poly), et qui est beaucoup moins calculatoire.
    Le gros de la preuve consiste à démontrer une version assez générale du théorème d'holomorphie sous l'intégrale, où l'intégration se fait sur un espace mesuré sigma-fini, théorème qu'on applique ensuite aux fonctions caractéristiques de variables aléatoires dont la loi est à support compact pour résoudre partiellement le problème des moments.
    Je pense que c'est un développement original et pas très difficile. Par contre, je n'ai trouvé aucune référence ni pour la preuve du théorème d'holomorphie (que je fais en utilisant quasi exclusivement des outils d'analyse complexe, sans convergence dominée et autre joyeuseté) ni pour l'application au problème des moments.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Recueil de modèles aléatoires, Chafaï, Malrieu (utilisée dans 1 versions au total)