Développement : Convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson

Détails/Enoncé :

On montre que toute loi de Poisson est limite de lois binomiales (avec des paramètres de plus en plus petits, d'où la qualification de "loi des évènements rares") et on majore la vitesse de convergence.

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Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

(2024) 261 : Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
(2024) 262 : Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.
(2024) 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
(2023) 261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
(2023) 262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
(2023) 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
(2022) 261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
(2022) 262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
(2022) 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
(2019) 261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
(2019) 262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
(2019) 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Versions :

Version de Clémentine

Auteur :
Clémentine
Référence :
- Probability : Theory and examples , Durret
Fichier :
- BinomPoisson.pdf

Version de adrien pautre

Auteur :
adrien pautre
Fichier :
- DEV_Binomiale_Poisson.pdf

Version de kureru

Auteur :
kureru
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Cvge loi binomiale - loi de poisson.pdf

Version de Mr_Syndrome

Auteur :
Mr_Syndrome
Remarque :
Pour les leçons : 261, 262, 264.
Je prouve d'abord le lemme de Scheffé, puis on l'applique pour des variables à densité (densité par rapport à la mesure de Lebesgue) et discrètes (densité par rapport à la mesure de comptage).
Pour la leçon sur les variables discrètes, je pense qu'il faut faire le sens réciproque.
Il faut aussi savoir que la convergence d'une binomiale vers une poisson est en fait un cas particulier de la loi des événements rares.
Références :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
- Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
Fichier :
- Binomiale vers poisson.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probability : Theory and examples , Durret (utilisée dans 3 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 82 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 49 versions au total)