Développement : Convergence en loi de variables aléatoires discrètes

Détails/Enoncé :

Théorème :
Si $X$ et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réelles et à valeurs dans un même ensemble dénombrable $A = \{x_k ; k \in K\}$ discret (dont tous les points sont isolés), alors $X_n \stackrel{Loi}{\longrightarrow} X$ si et seulement si pour tout $k\in K$, $\mathbb{P}(\{X_n = x_k\} ) \longrightarrow_{n \to \infty} \mathbb{P}(\{X = x_k\})$.

Application :
Soit $X_n$ des variables aléatoires de loi binomiale de paramètres $n$ et $p_n$ tels que $np_n \longrightarrow_{n \to \infty} \lambda$. Alors $X_n$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    L’énoncé du premier théorème est tout à fait naturel, et cela fait un résultat facile à démontrer. L’ajout de l'application (classique) le complète bien et le rend un peu plus ”recasable”. Je ne sais pas si c'est suffisamment intéressant pour faire un "bon" développement mais ça peut combler.
    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasages: 261, 262, 264

    Page 59 (sauf un point)

    Le Chabanol-Ruch le fait pour des variables à valeur dans $\mathbb{Z}$, je l'ai écrit pour le cas discret quelconque. Finalement, je pense qu'il vaut mieux l'écrire dans le cas de $\mathbb{Z}$ car c'est, disons, plus visuel, et les $\varepsilon$ sont plus facile à choisir; et surtout, modulo une numérotation, c'est exactement la même chose...

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 19 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 19 versions au total)