Développement : Limite de variables aléatoires gaussiennes

JBernis

Énoncé : Soit $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $(\sigma^2_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}$ deux suites de réels. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires telle que: $$\forall n\in\mathbb{N},\; X_n\sim \mathcal{N}(m_n,\sigma^2_n)\text{ et }X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal L} X,$$ où $X$ est une variable aléatoire RÉELLE.

Alors $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $m$, $(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel positif $\sigma $, et $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$.

Si de plus $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$, alors pour tout réel $r\geq 1$, on a la convergence :
$$X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathbb{L}^r(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})} X.$$

Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses