Développement : Lemme de division et applications

Détails/Enoncé :

$\underline{Lemme}$ : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que $f(0)=0$. Alors la fonction $g : x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ se prolonge en $0$ en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$.

$\underline{Application \ 1}$ : Si de plus $f''(0) \neq 0$ et que $f(x)>0$ pour tout $x \neq 0$ alors il existe $g$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que : $g^2=f$.

$\underline{Application \ 2}$ : Si pour $l\ge 1$, $f(0)=f'(0)=...=f^{(l-1)}(0)=0$, alors pour tout $q\in \{1,...,l\}$, la fonction $g_q$ définie par : $g_q : x \mapsto \frac{f(x)}{x^q}$ admet un prolongement de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que : $g_q(0)=...=g^{(l-q-1)}(0)=0$.

$\underline{Application \ 3}$ : On peut appliquer le lemme en $0$ aux fonctions : $x \mapsto \frac{\ln(1+x)}{x}$ et $x \mapsto \frac{1-\cos(x)}{x^2}$ par exemple...

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 39 versions au total)