Développement : Algorithme de Perturbation dans l'ensemble de Mandelbrot

Détails/Enoncé :

On définit premièrement l'ensemble de Mandelbrot M = {z complexe tel que |z_{n}| est bornée} avec z_0 = z, z_n+1 = z_n^2 + z.
On explique pourquoi les algorithmes "naïfs" de calcul itératifs de (z²+c) pour chaque point de départ ont des limitations. Cela nous amène à l'explication d'un algorithme de perturbation, qui vise à extrapoler des informations localement à partir d'un point de référence z dont la suite z_n a déjà été calculée.
La justification d'un tel algorithme passe par un développement de Taylor.

L'algorithme est couteux initialement, puis chaque actualisation se fait en O(log(N)), ce qui justifie son utilisation.

J'ajouterai ma propre version lorsqu'elle sera rédigée proprement.

(Il est possible de réaliser un tel algorithme, avec des modifications minimales, pour les ensembles de Julia).

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• 218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.
• 219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
• 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :