Développement : Zéros de la fonction de Bessel

Détails/Enoncé :

On commence à montrer que l'équation de Bessel:
\[
xy''+y'+xy=0
\]
avec $y(0)=1$ admet une unique solution $J$ développable en série entière sur $\mathbb{R}^+$. Ensuite, on montre un théorème d'entrelacement de zéros (thm de Sturm) que l'on applique pour montrer que la solution $J$ admet un nombre infini de zéros sur $\mathbb{R}$.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales.
    En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;)

    Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier).

    Côté recasages à mon avis:
    EDO linéaires
    Exemples d'illustration de la théorie des EDO
    Séries entières
    Fonctions usuelles et spéciales

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 53 versions au total)