Développement : Lemme de la grenouille

Détails/Enoncé :

Lemme 1: L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite à valeurs dans un evn compact tq ||Un+1-Un||-->0 est connexe
Lemme 2 (grenouille): f : [0,1]--> [0,1] continue et une suite Xn+1=f(Xn), X0 ds [0,1].
Alors Xn CV ssi |Xn+1-Xn|-->0

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    De la topologie élémentaire mais pas simple ! Je pense qu'il faut bien s'approprier la preuve pour la présenter, on y introduit beaucoup de notations. Les dessins sont obligatoires lors de la définition de A' et B'.

    Je le prends pour les leçons 204, 223 et 226.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 46 de la référence.
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  • Remarque :
    Développement vraiment mignon, je l'aime beaucoup. On peut bien prendre le temps d'expliquer le choses et de faire un joli dessin, qui est je pense indispensable pour cette preuve.

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la compacité
    Connexité
    Je ne le mettais ni dans "suites numériques" ni dans "suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$" car la partie où on s'intéresse à ces objets est dans l'application qui n'est pas longue et qui n'est pas vraiment le centre du développement.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 57 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 602 versions au total)