Développement : Développement asymptotique de suites definies par récurrence

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Recasages pour l'année 2025 :

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    -- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    On suppose que :
    1. $f$ est continue;
    2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
    3. $f$ est croissante;
    4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
    5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
    $$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$

    Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
    $$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$

    -- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
    $$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$


    -- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
    \begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
    $$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    Ce document est très (très) long, mais c'est parce que j'ai tenu à faire une sorte de recueil de méthodes permettant de donner un équivalent de telles suites. Le gros du développement est celui qu'on trouve dans le Bernis, c'est pourquoi je poste ici.
    On retrouve par exemple parmi ces méthodes la comparaison à une équation différentielle et une approche géométrique comme on voit dans le Bernis. Dans tous les cas, j'essaie au maximum de mettre l'intuition en avant. L'intuition est vraiment essentielle pour réussir les exercices de ce type. Et c'est toujours plus intéressant que de parachuter les astuces.
    On étudie également deux problèmes voisins : celui où la dérivée en 0 est positive strictement inférieure à 1, et celui où la fonction colle à la droite y=x mais à l'infini. Les deux problèmes sont abordés dans le Bernis mais j'ai essayé de creuser un peu plus. Ces problèmes permettent de voir les limites des méthodes présentées et permettent de bien se préparer aux questions de jury. Je suis tombé sur ce développement dans la leçon 224 donc j'en ai profité aussi pour glisser quelques questions que le jury m'a posées.
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  • Remarque :
    Cette version du développement sera peut-être courte, voire très courte pour certains. Je vois beaucoup de versions de ce développement faire beaucoup plus que moi.
    Si je voulais correctement tout expliquer, ne rien passer sous silence et donner l'intuition de la démonstration, j'avais besoin des 15 minutes. Peut-être que c'est insuffisant, mais moi ça me plaisait bien :)
    Le document de WOLFF est super intéressant, je le recommande vivement!!

    Côté recasages à mon avis:
    Développements asymptotiques
    Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$
    Suites numériques
    Certains le mettent dans "série de nombres réels et complexes". Je ne trouve pas ça pertinent : on utilise un seul argument qui prend 1 minute à tout cassé dans le développement...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 152 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 606 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 57 versions au total)