Développement : Développement asymptotique de suites definies par récurrence

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    -- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    On suppose que :
    1. $f$ est continue;
    2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
    3. $f$ est croissante;
    4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
    5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
    $$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$

    Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
    $$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$

    -- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
    $$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$


    -- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
    \begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
    $$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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