Développement : Développement asymptotique de suites definies par récurrence

JBernis

Énoncé :
-- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
On suppose que :
1. $f$ est continue;
2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
3. $f$ est croissante;
4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
$$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$

Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
$$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$

-- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
$$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$


-- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
\begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
$$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$


Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

EWna

Recasages: 223, 224, 226, pas 230

Bernis p145


Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Crépusculaire