Développement : Composantes connexes des formes quadratiques réelles

Détails/Enoncé :

Soit $(E,|| \cdot ||)$ un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie $n$, soit $Q(E)$, l’ensemble des formes quadratiques muni de la norme $N:q \mapsto sup \{ |q(x)| \: / \: ||x||=1 \}$, et $\Omega(E)$ l’ensemble des formes quadratiques non dégénéres.

Alors on a
1. $\Omega(E)$ est un ouvert de $Q(E)$.
2. Pour tout $q \in Q(E)$, il existe $k >0$, tel que si $q' \in Q(E)$ et $N(q - q') < k$, alors $q'$ a la même signature que $q$.
3. Les composantes connexes de $\Omega(E)$ sont les ensembles $\Omega_i(E)$, définis comme l’ensemble des formes quadratiques de signatures $(i,n-i)$, pour i entier naturel compris entre 0 et n.

Ref : FGN Oraux X-ENS Algèbre 3 - p.214